dimensión del subespacio 8

Question

Sea $W_1 ,W_2 ,W_3 $ sean tres subespacios distintos de $\mathbb R^{10}$ tal que cada una tenga dimensión 9. $W=W_1\cap W_2\cap W_3 $ ¿Cuál será la dimensión de W? Creo que la dimensión de $W$ será 7 ya que $W_1 ,W_2 ,W_3 $ Pero la respuesta es la dimensión de $W$ también podrían ser 8.

Según mi razonamiento Let $\{a_1, a_2 ,...,a_{10}\}$ sean elementos de la base de $\mathbb R^{10}$ Ahora podemos elegir la base para $W_1$ nueve elementos cualesquiera, digamos $\{a_1, a_2 ,...,a_{9}\}$ Ahora, para $W_2$ elegimos $\{a_2 ,...,a_{10}\}$ como base. Para hacer $W$ de dimensión 8 nos $\{a_2 ,...,a_8,a_{9}\}$ debe estar en la base de $W_3$ .ahora para completar $W_3$ sólo se necesita una dimensión para la que tenemos dos opciones $a_1$ o $a_{10}$ .Elegir cualquiera de ellos hará $W_3$ ya sea igual a $W_1$ o $W_2$ . No he podido encontrar ningún caso en el que la dimensión de $W$ es 8. No entiendo qué ha fallado. Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Consideremos estos subespacios de $\mathbb{R}^3$ :

• $W_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,|\,z=0\}$ ;
• $W_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,|\,x=0\}$ ;
• $W_3=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,|\,x+z=0\}$ .

Son distintos. Sin embargo, $\dim(W_1\cap W_2\cap W_3)=1$ no $0$ . La dimensión es $1$ porque $W_1\cap W_2\cap W_3=\{(0,y,0)\,|\,y\in\mathbb R\}$ .