Clasificación de los elementos parabólicos de un subgrupo de $PSL_2(\mathbb R)$

Question

Sea $G\subset PSL_2(\mathbb R)$ sea el grupo generado por las matrices $$a_n=\begin{pmatrix} 1 & 2\cot\frac{\pi}{n}\\0 & 1\end{pmatrix},\; c_n = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{n}&\sin\frac{\pi}{n}\\-\sin\frac{\pi}{n}&\cos\frac{\pi}{n}\end{pmatrix}$$ He visto varias referencias en la literatura al hecho de que todo elemento parabólico (es decir, elemento de traza $2$ ) de $G$ es conjugado a una potencia de $a_n$ todo sin pruebas. ¿Hay alguna manera fácil de demostrarlo, o alguna prueba de este hecho en la literatura?

Si interpretamos $G$ como actuando sobre el plano medio superior mediante transformaciones fraccionarias, los elementos parabólicos son precisamente los elementos que fijan exactamente un punto y se clasifican hasta la potencia por el punto que fijan. En particular, las potencias de $a_n$ fijar $\infty$ . Así pues, basta con demostrar que si $z$ es el punto fijo de algún elemento parabólico $g\in G$ entonces tenemos $h\in G$ tal que $h(z)=\infty$ .

Answer 1

Esto va a ser una aplicación del teorema del polígono de Poincare en el plano hiperbólico, que se aplica construyendo primero un dominio fundamental.

A partir de tu descripción de los generadores, parece que el dominio fundamental va a ser un polígono de cuatro lados obtenido intersecando un dominio fundamental para el grupo cíclico infinito generado por $a_n$ (la franja vertical entre $x=\pm \cot(\pi/n)$ ) y un dominio fundamental para el orden $n$ grupo cíclico finito generado por $c_n$ (el ángulo entre dos rayos que parten del punto de rotación $0+1i$ simétrico a través de la línea $x=0$ y subtendiendo un ángulo $2\pi/n$ ). Será un polígono de cuatro lados con un punto ideal en $+\infty$ .

Para aplicar el Teorema del Polígono de Poincare tendrás que comprobar que cada vértice finito tiene ángulo de la forma $2\pi/k$ para algún número entero $k \ge 1$ (que ya conoce para el vértice en $0+1i$ ).

Una vez hecho esto, la conclusión del Teorema del Polígono de Poincare nos dirá que todos los puntos parabólicos para la acción del grupo son las imágenes del único vértice ideal $+\infty$ bajo la acción del grupo.