Derivación de la fórmula de la diferencia del seno

Question

Estoy atascado probando la fórmula de la diferencia $\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ .

Dado este diagrama:

$$\sin (\alpha - \beta) = CD/AC = PQ/AC = (BQ-BP)/AC=BQ/AC-BP/AC$$

Ahora tenemos que relacionarlo con el seno y el coseno de alfa y beta:

$$BQ/AC = ???$$

Estoy atrapado aquí porque $\sin \alpha = BQ/AB$ y $\cos \beta = AC/AB$ . Multiplicando esas fracciones juntas no me dará $BQ/AC$ .

Pensé que tenía la idea correcta, pero estoy atascado. Se agradecen las sugerencias.

Answer 1

Probemos en cambio la fórmula de la suma: $\sin(\alpha)=\sin(\alpha-\beta)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha-\beta)$ .

Para ello, explica por qué el primer sumando de la derecha es igual a $CD/AB$ mientras que el segundo sumando de la derecha es igual a $BP/AB$ (pista: ¡utiliza triángulos similares!). Combinando estos dos resultados se obtiene la fórmula de la suma.

Para obtener la fórmula de la diferencia, dibuja el mismo diagrama pero con $\beta$ en el sentido de las agujas del reloj.