Aquí está la serie, por algunos conceptos de mecánica cuántica, debería ser 1, sin embargo, no sé cómo demostrarlo. ¿Podría alguien mostrarme la prueba? Gracias. $$\lim_{k\to \infty}\sum_{n=1}^{k} \frac{4}{n^2\pi^2}(1-\cos\frac{n\pi}{2})^2 $$
Respuesta
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Sea $S$ definirse como
$$ S=\frac{4}{\pi^2}\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^2}\left(1-\cos\left(\frac{\pi k}{2}\right)\right)^2 $$
Descomponer $S$ según el resto de $n$ modulo $4$ .
Desde $\cos(\pi n/2)=1$ para $n=0 \mod 4$ una parte de la suma se anula exactamente. Además $\color{blue}{\cos(n\pi/2)=0}$ para $\color{blue}{n=1,3\mod 4}$ y $\cos(n\pi/2)=-1$ para $n=2\mod 4$ lo que significa que podemos escribir igualmente
$$ S=\frac{4}{\pi^2}\sum_{k\geq 0}\left(\color{blue}{\frac{1}{(4k+1)^2}+\frac{1}{(4k+3)^2}}+\frac{2^2}{(4k+2)^2}\right)=\frac{4}{\pi^2}\sum_{k\geq 0}\left(\color{blue}{\frac{1}{(2k+1)^2}}+\frac{2^2}{(4k+2)^2}\right)=\\\frac{4}{\pi^2}\sum_{k\geq 0}\left(\color{blue}{\frac{1}{(2k+1)^2}}+\frac{1}{(2k+1)^2}\right)=\frac{8}{\pi^2}{\sum_{k\geq 0}\frac{1}{(2k+1)^2}} $$
o
$$ S=1 $$
Desde
$$ {\sum_{k\geq 0}\frac{1}{(2k+1)^2}}=\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^2}-\sum_{k\geq 1}\frac{1}{(2k)^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{4}\frac{\pi^2}{6}={\frac{\pi^2}{8}} $$
Desde un punto de vista teórico numérico podemos identificar la suma como
$$ S=\frac{4}{\pi^2}L(\chi_1,2)=\frac{4}{\pi^2}\sum_{n\geq1}\frac{(1-\chi_1(n))^2}{n^2} $$
donde $\chi_1(n)$ es el carácter Dirichlet no trivial asociado al mapa $Z/4Z\rightarrow \mathbb{S_1}$
