Iterar los puntos límite hasta el infinito para obtener $\{0\}$

Question

Sea $X\subseteq\mathbb{R}$ . Definimos $D(X):=\left\{x\mid x\in \mathbb{R}\mid \forall n\in\mathbb{N}\;\exists y\in X\left[0<|x-y|<\frac1{2^n}\right]\right\}$ es decir, el conjunto de limitar puntos de $X$ .

Podemos iterar $D$ por: $D^{(2)}(X):= D(D(X)), \ldots$ . También podemos obtener $$D^{(\omega)}:=\bigcap_{n\in\mathbb N} D^{(n)}(X).$$

Ahora estoy buscando un conjunto $X$ tal que $D^{(\omega)}(X)=\{0\}$ . Consideremos primero el caso $D(X)=\{0\}$ . Esto puede hacerse tomando $X_1=\left\{\frac1{2^n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ .

El caso $D^{(2)}(X_1)=\{0\}$ puede resolverse mediante $X_2=\left\{\frac1{2^n}+\frac1{2^m}\mid n,m\in\mathbb{N}\right\}$ . Aquí $D(X_2)=X_1$ y por lo tanto $D^{(2)}(X_2)=\{0\}$ .

Ahora volvamos a $D^{(\omega)}(X)$ . Se podría imaginar tomar el caso límite $X_\infty:=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} X_n$ donde $X_n =\left\{\frac1{2^{k_0}}+\ldots+\frac1{2^{k_{n-1}}}\mid k_0,\ldots,k_{n-1}\in\mathbb{N}\right\}$ . Sin embargo, esto no solucionará nada, ya que $X_\infty=\left\{\frac n{2^m}\mid n,m\in\mathbb{N}\text{ and } n\leq2^m\right\}$ de la que podemos ver fácilmente que $D(X_\infty)=X_\infty$ . ¿Cuál sería el enfoque adecuado para encontrar un $X$ ?

Answer 1

Se puede hacer directamente, pero me parece más fácil hacerlo en dos pasos. Primero construiré un conjunto $Y\subseteq[1,\to)$ tal que $D^{(\omega)}(Y)=\varnothing$ . Si luego dejas que

$$X=\left\{\frac1y:y\in Y\right\}\;,$$

puede demostrar que $D^{(\omega)}(Y)=\{0\}$ .

Tenga en cuenta que $D(A)$ está cerrado para cualquier $A$ Así que $D^{(\omega)}(Y)$ debe estar cerrado. Si alguno de los conjuntos $D^{(n)}(Y)$ está acotada (y, por tanto, es compacta), $D^{(\omega)}(Y)$ no estará vacío. Por lo tanto, debemos asegurarnos al menos de que los conjuntos $D^{(n)}(Y)$ no tienen límites. Para que la intersección sea vacía, podríamos intentar arreglar las cosas de modo que $D^{(n)}(Y)\subseteq[n,\to)$ .

Sea $Y_n=Y\cap(n,n+1]$ y defina $Y_n$ para que $D^{(n)}(Y_n)=\{n+1\}$ . Por ejemplo, $Y_0=\{1\}$ y podemos tomar $Y_1=\{2-2^{-n}:n\in\Bbb Z^+\}$ . Para obtener $Y_2$ sólo cambia $Y_1$ a la derecha una unidad y añadir secuencias convergentes a cada uno de los puntos aislados, y se puede repetir la construcción recursivamente para obtener $Y_n$ para cada $n\in\Bbb N$ .

Answer 2

Podemos resolver esto mirando su $X_1 = \{ \frac{1}{2^n} | n \in \mathbb{N} \}$ . Para cada elemento $\frac{1}{2^n}$ en $X_1$ podemos encontrar $\epsilon_n$ tal que $[\frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^n} + \epsilon_n] \cap X_1 = \frac{1}{2^n}$ . A continuación, podemos asignar $[0,1] \to [\frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^n} + \epsilon_n]$ biyectivamente y tomar la imagen de $X_1$ como $X_{2_n}$ . Ahora toma la unión sobre todo $n$ como $X_2$ . Repetir hasta el infinito.