¿Es ésta la razón correcta por la que la secuencia no puede converger a cero?

Question

Que la secuencia $\left\{a_n\right\}$ se define como: $$a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}$$

Básicamente, los términos de la secuencia son $\frac{1}{2},\frac{7}{12},\frac{37}{60},...$

Ahora tenemos que encontrar $\lim_{n \to \infty}a_n$ . Es bastante obvio que se trata de un sumatorio de Riemann y obtenemos la respuesta como $\ln 2$ .

Pero si un novato resuelve esto, tomará límites individuales de la siguiente manera: $$\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+2}+....+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n}=0+0+0...+0=0$$

Pero si observamos que: $$a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}-\cdots-\frac{1}{2n}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}>0$$ Así que la secuencia $\left\{a_n\right\}$ es creciente y está limitada por debajo por $\frac{1}{2}$ Así que si converge, converge a un valor superior a $\frac{1}{2}$ De ahí el límite $0$ ¿Es válido este razonamiento o se puede razonar mejor para un estudiante de cálculo principiante?

Answer 1

Bueno, lo que hay que tener en cuenta es que en el límite, "se están sumando infinitamente muchas $0$ s".

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Para convencer a un novato de que el argumento no es correcto, puede poner un ejemplo aún más sencillo. Consideremos $$a_n = \underbrace{\frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}}_{n \text{ times}}.$$ Con el mismo argumento, se obtendría $a_n \to 0$ pero de hecho, tenemos $a_n = 1$ para todos $n \ge 1$ .

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Para convencerles de que el límite en su caso particular no es $0$ Creo que lo que ha escrito es una razón bastante simple.

Edita: Véase Respuesta de Bernard .

Answer 2

Para mí, el enfoque más sencillo consiste en observar que cada término de la suma es $\ge\frac 1{2n}$ y que hay $n$ términos. Por lo tanto $$a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{n+n}\ge n\cdot\frac1{2n}=\frac12.$$