Reglas de i ( $\sqrt -1$ ) a una potencia

Question

$i^{2014}$ potencia =?

A. $i^{13}$

B. $ i ^{203}$

C. $i^{726}$

D. $i^{1993}$

E. $i^{2100}$

No entiendo el concepto de que las potencias de i se repiten de cuatro en cuatro y que "dos potencias de i son iguales si sus restos son iguales al dividir por cuatro" . Especialmente no entiendo la segunda parte de la afirmación anterior.

Answer 1

Sabes que $i^4=1$ porque $$ i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1 $$

Ahora $i^5=i^4\cdot i=i$ , $i^6=i^4\cdot i^2=-1$ , $i^7=i^4\cdot i^3=-i$ y finalmente $i^8=i^4\cdot i^4=1$ . Usted puede seguir para siempre, los poderes de $i$ repetirá el mismo patrón

$$\dots\quad i\quad {-1} \quad {-i}\quad 1 \quad\dots$$

Si $n=4q+r$ con $0\le r<4$ Eso es, $r$ es el resto de la división de $n$ por $4$ , tienes $$ i^n=i^{4q+r}=i^{4q}\cdot i^r=(i^4)^q\cdot i^r=1^q\cdot i^r=i^r $$

En particular, si $m=4q_1+r$ y $n=4q_2+r$ tienen el mismo resto, entonces $$ i^m=i^r=i^n $$

Answer 2

Sugerencia Esta imagen puede ayudarle a entender mejor este concepto

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Editar :

En primer lugar, olvida todo lo dicho sobre la división por cuatro. Puede que hayas visto $i$ que se define como $\sqrt{-1}$ . Podemos elevar al cuadrado ambos lados para ver una definición alternativa que es $i^2=-1$ . Usemos esto. Empezaremos observando que cualquier cosa a la potencia de $0$ es $1$ . Por lo tanto $$i^0=1$$ Ahora multipliquemos cada lado por $i$ . Obtenemos $$i\times i^0 = 1 \times i\\ i=i$$ Que es lo que esperamos. Ahora multiplicamos por $i$ de nuevo para obtener $$i^2=-1$$ porque ya lo establecimos antes. Ahora multiplique por $i$ de nuevo para obtener $$i^3=-1\times i = -i$$ que se espera al multiplicar un número por $-1$ . Por último, multiplique por $i$ de nuevo y ver lo que obtenemos: $$i^4=-i\times i = -i^2=-(-1)=1$$ Ahora te estarás preguntando por qué esto es útil, pues bien, fíjate en que si multiplicamos por $i$ ¡de nuevo obtendremos el mismo patrón de ciclo que se repite cada 4! $1, i, -1, -i$ . Así $i^5$ es $i$ y $i^{10}$ es $-1$ etc. Ahora hay que averiguar qué gran potencia de $i$ sería que podemos dividir la potencia por $4$ para ver cuántos 4 cabrían en él.

Toma $i^{13}$ podemos escribirlo como $i^{12}\times i$ y sabemos por leyes de índices/exponentes que $i^{12}=(i^4)^3$ . ¡Un momento! Acabamos de establecer que $i^4$ es $1$ por lo tanto $i^{12}$ es $1^3$ ¡que es sólo 1! Por lo tanto tenemos que $i^{13}$ es $1\times i$ que es simplemente $i$ ¡! Fíjate que intentando encajar tantos cuatros en la potencia y reescribiéndolos de forma que podamos evaluar la parte interior para que sea uno y usando leyes de índices/exponentes podemos dejar simplemente una potencia de $i$ que tiene índice/exponente inferior a cuatro detrás.

Por lo tanto, para resolver el problema hay que averiguar qué se queda de $2014$ cuando intentas encajar tantos cuatros en él. La parte que queda (llamada resto) es la potencia de $i$ a la que es igual.