¿Es todo grupo topológico (o de Lie) el grupo isométrico de un espacio métrico (o de una variedad riemanniana)?

Question

El grupo de isometría de un espacio métrico es un grupo topológico (con la topología abierta compacta). El grupo de isometría de un Manifold de Riemann es un Liegroup. (Thm. de Steenrod-Myers)

Entonces, ¿es todo grupo topológico isomorfo (en la categoría de grupos topológicos) al grupo de isometría de un espacio métrico?

¿Y la versión diferenciable? ¿Es todo Liegroup isomorfo (en la categoría de Liegroups) a un grupo de isometría de una múltiple de Riemann?

Edición: Benjamin Steinberg ha dado una referencia que responde plenamente a la pregunta en el caso topológico. Ryan Budney dio una idea de cómo realizar al menos cada grupo de mentira compacto como el grupo de isometría de una variedad riemanniana. (Esto se demuestra en LOS GRUPOS DE ISOMETRÍA DE LOS MANIFOLDS Y LOS GRUPOS DE AUTOMORFISMO DE DOMINIOS, por RITA SAERENS y WILLIAM R. ZAME )

Así que para mí, sigue abierta la pregunta sobre el caso no compacto: ¿Son realizables todos los grupos de Lie no compactos como grupos isométricos de una variedad riemanniana?

Answer 1

Esto parece estar completamente respondido en la categoría topológica por Thm 1.4 de http://arxiv.org/pdf/1202.3368v3.pdf .

Editar

Si X es un espacio topológico que no es completo de Dieudonné (lo que significa que su topología no puede venir dada por una uniformidad completa), entonces parece que el teorema 7.24 de http://books.google.com/books?id=v3_PVdvJek4C&pg=PA35&lpg=PA35&dq=free+topological+group+dieudonne+complete&source=bl&ots=QIt0C2TCjN&sig=d4BJjO2h3zM4jDLoTzijrDVYt3w&hl=es&sa=X&ei=VIw8UeuBJpO30QHek4C4AQ&ved=0CC4Q6AEwAA y Thm 1.4 del artículo anterior muestra que el grupo topológico libre sobre X no es el grupo de isometría de un espacio métrico. Googleando se ve que existen espacios completamente regulares que no son de Dieudonné.

Creo que cualquier grupo pulido o grupo localmente compacto es un grupo de isometría de un espacio métrico por el paper que enlacé.

Asimismo, el autor del primer artículo ha demostrado que todo grupo de Lie es el grupo isométrico de otro grupo de Lie con respecto a alguna métrica propia. http://arxiv.org/pdf/1201.5675v2.pdf

Answer 2

La respuesta es sí para grupos finitos -- incluso puedes asegurarte de que tu espacio es una superficie hiperbólica, o un 3-manifold hiperbólico. El resultado para 3-manifolds es de Sadayoshi Kojima. Para las superficies hiperbólicas he olvidado a quién se debe, pero creo que la referencia está en el artículo de Kojima.

En el caso de los grupos de Lie compactos, creo que se puede hacer que el espacio sea una variante del propio grupo de Lie (con una métrica invariante a la izquierda). La idea sería tomar el grupo de Lie $G$ con su métrica invariante a la izquierda. Si eso tiene un grupo de isometría mayor que $G$ se toma el producto de $G$ con una bola (con alguna métrica), y perturbar la métrica en $G \times B$ , $G$ -equivariantemente. Alguna perturbación genérica de la métrica debería acabar con todas las isometrías que no sean las procedentes de la $G$ -acción.

Andre plantea la cuestión de si esta construcción podría realizarse o no por $S^1 \equiv SO_2$ . La cuestión es que con su métrica invariante a la izquierda el grupo de isometrías es $O_2$ . No veo ninguna razón para que no funcione. Por ejemplo $S^1 \times D^2$ . Ponga una métrica en este espacio que sea localmente un producto, pero donde la fibra es un disco cuyo grupo de isometría es $\mathbb Z_3$ isometrías conservadoras de la orientación de un triángulo. Hacemos de la holonomía del haz alrededor del círculo base el generador de este grupo de isometrías. Así que no puede haber ninguna isometría de este haz que invierta la dirección del espacio base, ya que eso significaría que la holonomía es igual a su inversa, que en $\mathbb Z_3$ no puede suceder. Así que las únicas simetrías de este haz actúan como isometrías preservadoras de la orientación de la base, y preservadoras de la orientación en la fibra, y este grupo es $SO_2$ .