Entiendo que $i = \sqrt{-1}$, pero parece como si $i^2$ sería:
$$\sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{1} = \pm 1$$
Por qué no es éste el caso?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Por qué $\sqrt{-1 \times -1} \neq \sqrt{-1}^2$? (5 respuestas )
Respuestas
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Si entiendo correctamente, usted está pensando es como sigue: $$\ \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = \pm 1. $$
Me ocuparé de la cuestión principal aquí: en la redacción de este, está suponiendo que la "regla" que nos dice: $$ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $$ también se aplica a $a, b$ cuando ambos son negativos. Sin embargo:
$\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b\;$ si y sólo si $a$ $b$ no son ambos negativos de los números reales.
La costumbre de las leyes de los exponentes (y raíces) no se aplican a los complejos los números imaginarios, ni, en el caso de la raíz cuadrada, se aplica a los números negativos de cualquier tipo.
Halfgaar
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2866
La regla de que $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ sólo tiene al $a, b$ son positivos.
Para añadir un poco más de contexto: estas reglas se mantenga sólo para números positivos para un par de razones, pero en general, la existencia de los números complejos es algo impuesto por la insuficiencia de los reales para resolver ciertos tipos de problemas.
En una manera, podemos ver el $i^2 = -1$ como un definitivos de propiedad de $i$ (es decir, una propiedad que contiene porque nos definimos ser así), en lugar de un consecuente de la propiedad.
El complejo de la aritmética es esencialmente sintético: es algo que hemos hecho. Lo que ocurre es que las reglas que hemos elegido son muy útiles y tienen excepcionalmente agradable propiedades, así que nos quedamos con ellos.
Pero, al final, se definen $(a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc)$. Esto es exactamente equivalente a la definición de $i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0)$.
rschwieb
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60669
Un principal error aquí es que $\sqrt{a^2}=\pm a$. Que es no verdadero, sino $\sqrt{a^2}=|a|$ es verdadera para cualquier número real $a$.
Lo que se confunde con la solución de la ecuación de $x^2=c$. Algunos estudiantes se les enseña a "tomar la raíz cuadrada de ambos lados, pero para evitar dejar caer una solución,$\pm$":
$$x=\pm\sqrt{c}$$
Es importante no confundir estas dos cosas: encontrar la raíz cuadrada de un número, y la resolución de una ecuación de la forma $x^2=c$.
mkoryak
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18135
Parece que usted está pensando en que $$\ \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1. $$ Como otros ya han mencionado, al hacer esto, usted está asumiendo que $$ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $$ sin embargo, esta regla sólo se mantiene para los no-negativos de los números reales.
Una manera de pensar acerca de la $i$ es simplemente como algo cuyo cuadrado es $-1$. Usted puede, a continuación, definen los números complejos como todas las combinaciones lineales $a + bi$ donde $a$ $b$ son números reales. Ahora, cuando usted comienza a manipular/usar el álgebra con estos números complejos usted acaba de recordar que $i^2 = -1$ (por definición). Igualmente, algunos libros de matemáticas simplemente definir que para un número real positivo $a$ $\sqrt{-a}$ es $i\sqrt{a}$.
La moral de todo esto es que cuando se mueva a algo "nuevo" en matemáticas, tienes que ser muy cuidadoso porque la "costumbre" reglas no siempre se aplica.
thorb65
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111
Esto puede ayudar a evitar el uso de la $\sqrt{}$ la notación, sino exponentes. Recuerde que $\sqrt a$ se $a^{1/2}$.
Su argumento es que esto. ¿Por qué no podemos hacer: $(-1^{1/2})(-1^{1/2}) = (-1\cdot -1)^{1/2} = 1^{1/2} = 1$?
Pero, ¿cómo el producto de potencias de la misma base que realmente funciona es este: $x^ax^b = x^{a+b}$.
Así que, en otras palabras, $-1^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = -1^1 = -1$.
No podemos simplemente tomar las cosas de debajo de la exponente y se multiplican!
En el caso de que $a = b$, se reduce a $x^ax^a = x^{2a}$.
Así que, a continuación, el patrón que usted está tratando de seguir este aspecto, con los exponentes: $x^ax^a = x^{2a} = (x^2)^a = (xx)^a$. Ahora, que es realmente correcto dependiendo de la naturaleza de la $x$$a$, pero no al $x$ es negativo y $a$ es fraccionario.
El problema es que el exponente de la ley de $x^{(mn)} = (x^m)^n$ no posee en general. No se mantienen cuando se $x$ es negativo y $m$ o $n$ son fraccionarios.
