Cómo hallar la derivada 50 de $\left(\dfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\right)$ ?

Question

Necesito calcular la derivada 50 de

$$\left(\dfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\right)$$

Por supuesto, no computaría 50 derivadas. Quiero encontrar una cierta regularidad.

Y lo que tengo:

Como puede verse, existe cierta regularidad. Pero no puedo representarlo como una fórmula. ¿Cuál es la relación entre $105, 945, 10395$ ?

Answer 1

La función es el producto de $u=(1-x)^\frac12$ veces $v=(1+x)^{-\frac12}.$ Si $C(m,n)$ es el coeficiente binomial y $P(a,n)$ es la permutación $a(a-1)\cdots (a-n+1)$ [donde se define $P(a,0)=1$ ] entonces el $n$ derivada de $u$ est $(-1)^nP(1/2,n)(1-x)^{-n+\frac12},$ mientras que el $n$ derivada de $v$ est $P(-1/2,n)(1+x)^{-n-\frac12}.$ A continuación, podemos introducirlas en la regla de Leibniz para obtener el $m$ derivada de $u\cdot v$ como la suma de los términos, para los no negativos $r,s$ teniendo suma $m$ dado por $$C(m,r)(-1)^rP(1/2,r)P(-1/2,s)(1-x)^{-r+\frac12}(1+x)^{-s-\frac12}.$$ Lo he comprobado y coincide con tu cálculo de la cuarta derivada. Sin embargo en cierto modo no es muy útil para una derivada realmente alta como la 50ª ya que habría 51 términos.