Cómo determinar las funciones coercitivas

Question

Una función continua $f(x)$ que se define en $R^n$ se denomina coercitivo si $\lim\limits_{\Vert x \Vert \rightarrow \infty} f(x)=+ \infty$ .

Me resulta difícil entender cómo el norma de estas funciones se calculan para demostrar que son coercitivas.
$a) f(x,y)=x^2+y^2 \\b)f(x,y)=x^4+y^4-3xy\\c)f(x,y,z)=e^{x^2}+e^{y^2}+e^{z^2}$

Para demostrar que son coercitivas tengo que demostrar que a medida que la norma va al infinito la función también debería ir al infinito ¿no?

Answer 1

Para demostrar que la función es coercitiva, tenemos que demostrar que su valor va a $\infty$ ya que la norma pasa a ser $\infty$ .

1) $$f(x,y)=x^2+y^2= \infty \\ as \left \| x \right \|\rightarrow \infty$$ es decir $||x||=\sqrt(x^2+y^2)$

Por lo tanto , $f(x)$ es coercitivo.

2) $$f(x,y)=x^4+y^4- 3xy \\ \because ((x+y)^2-(x^2+y^2))=3xy (\frac{2}{3}) \\f(x,y)=x^4+y^4-(\frac{3}{2})( (x+y)^2)-(x^2+y^2)) \\ \leq x^4+y^4 + (\frac{3}{2})(x^2+y^2)\\ \leq (x^2+y^2)^2 + (\frac{3}{2})(x^2+y^2) \\ \therefore f(x,y)=\infty \\ as \left \| x \right \|\rightarrow \infty$$ es decir $||x||=\sqrt(x^2+y^2)$

Por lo tanto , $f(x)$ es coercitivo.

3) $$f(x,y,z)=e^{x^{2}} + e^{y^{2}}+ e^{z^{2}} \\ \approx (1+x^{2})+(1+y^{2})+(1+z^{2}) = \infty$$ $$\\ as \left \| x \right \|\rightarrow \infty$$ es decir $||x||=\sqrt(x^2+y^2+z^2)$

Por lo tanto , $f(x)$ es coercitivo.

Answer 2

Consideremos la primera función $f(x,y) = x^2 + y^2$ . Esta función puede escribirse en términos de vectores como $f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|^2$ . Ahora puede ver que $f(\mathbf{x}) \to \infty$ como $\|\mathbf{x}\| \to \infty$ .

Aquí tienes una pista para la segunda función. Utiliza la desigualdad $-\frac{3}{2}(x^2 + y^2) \leq -3xy$ para obtener un límite inferior para $f(x,y)$ . Demuestre que para cualquier $M > 0$ existe un número $K > 0$ tal que $f(x,y) > M$ siempre que $\sqrt{x^2 + y^2} > K$ .

Answer 3

Para (c), utilice $e^x \ge 1+x$ , así que $e^{x^2} \ge 1+x^2$ .