Curvatura de una curva discreta 2D

Question

Supongamos que tenemos una curva plana discreta en 2D, tal que la curva se compone enteramente de segmentos de línea recta conectados. Evidentemente, la definición habitual de curvatura no es aplicable, ya que esta curva no es suave.

Sin embargo, ¿existe alguna definición de curvatura que pueda utilizarse y que converja con la definición habitual a medida que se utilicen más y más segmentos de línea para describir una curva suave? Es decir, para una curva plana discreta, en cada punto del vértice, nuestra curvatura discreta debería definirse de tal forma que en el límite de la curva suave, la nueva curvatura en el vértice, debería ser la curvatura de la curva en ese punto.

1. ¿Es posible tal definición?
2. Si es así, ¿existen definiciones estándar para esta curvatura discreta?
3. ¿Es posible más de una definición?

$\qquad\qquad\qquad\qquad$

Answer 1

La curvatura de una curva suave puede interpretarse como la tasa de cambio de la ángulo que hace su vector tangente con una dirección fija. Así, si se tiene una curva suave a trozos, cada punto singular aporta (de forma natural) el ángulo exterior [si se tiene vector tangente entrante $\mathbf v$ y el vector tangente saliente $\mathbf w$ se toma el ángulo de $\mathbf v$ a $\mathbf w$ ]. Esto funciona perfectamente con una curva lineal a trozos: Sólo tiene curvatura en las esquinas, y la curvatura total sigue siendo el índice de rotación de la curva.

En efecto, para una curva plana simple cerrada y lisa a trozos $C$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj, el Umlaufsatz de Hopf se convierte en $\int_C \kappa\,ds + \sum\epsilon_i = 2\pi$ .

Answer 2

Heurísticamente lo que yo haría es, para cada aproximación poligonal:

1. Decida un valor tanto para el dirección y un curvatura en cada vértice, ajustando un círculo a través de él y sus vértices vecinos en cada lado.

2. A lo largo de cada uno de los segmentos rectos, asigna una curvatura como función cuadrática de la longitud del arco, de forma que (a) coincida con los valores a los puntos finales que ya has decidido, y (b) su integral sobre todo el segmento sea exactamente la diferente en supuesto dirección entre los vértices.

Si sus vértices siempre se encuentran en la curva suave original, como es el caso de su ilustración, ésta debería converger bien (es decir, localmente de manera uniforme) hacia la curvatura verdadera.

Para algunas aplicaciones puede funcionar igual de bien simplemente interpolar linealmente en el paso 2. Utilizar una corrección cuadrática tiene la ventaja de que se puede integrar para encontrar una variable continua dirección en cada punto del segmento, que puede utilizarse para simular sombreados, rebotes en la curva, etc.