Cálculo de la media y la varianza mediante los teoremas de la media y la varianza de la esperanza condicional

Question

Tengo la siguiente pregunta:

$X$ es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo $[1, 2]$ . En función del valor de $X = x$ , $Y$ es una variable aleatoria exponencial con tasa $x$ Eso es:

$f_X(x) = 1 \text{ for } 1 x 2, 0$ de lo contrario, $\quad f_{Y|X}(y|x) = x exp(xy) \text{ for } y > 0, 0$ de lo contrario

La parte final de la pregunta pide verificar las respuestas de $E[Y]$ et $Var[Y]$ utilizando los teoremas de la expectativa condicional, es decir:

$E[Y] = E[E[Y|X]], \quad Var[Y] = E[Var[Y|X]] +Var[E[Y|X]]$

Estas respuestas pueden resolverse calculando el MGF de Y, que es: $M_y(t) = 1- t\text{log}\frac{2-t}{1-t}.$

$M_y(t)$ da: $\quad E[Y] = \text{log}(2), \quad Var[Y] = 1$

En las respuestas se indica que, $E[E[Y|X]] = E[1/X]$ y también que $E[Var[Y|X]] = E[1/X^2]$ . No entiendo este paso, cualquier idea o pista sería de gran ayuda. Gracias.

Answer 1

$Y|X$ se distribuye exponencialmente con el parámetro $X$ Así que $E[Y|X]=1/X$ ya que es la expectativa de una distribución exponencial. Así que $$E[E[Y|X]]=E[1/X]$$ Del mismo modo, la varianza de una variable distribuida exponencialmente con parámetro $\mu$ es $1/\mu^2$ . Así que $$E[Var[Y|X]]=E[1/X^2]$$