Eliminación de variables a la antigua usanza

Question

Estoy tratando de eliminar las variables en algunos bastante simples conjuntos de ecuaciones. Un ejemplo típico es:

$$ 9 x^2 + 18 xy + 9 y^2 - 32 = 256z$$ $$ 9 x^2 + 6 xy - 3 y^2 - 8 = 376z$$ $$ 9 x^2 - 6 xy + y^2 = 512z$$

Me gustaría eliminar la $x$$y$. Mathematica me dice que la respuesta es $ 161 z^2 -162z + 1 = 0 $. OK. Bueno.

Pero, ¿cómo puedo hacer esto eliminación de forma manual (sin Mathematica). Tengo la esperanza de que hay algunos bastante simple proceso mecánico que puedo expresar en un par de cientos de líneas de código C.

Me doy cuenta de que, en general, procedimientos de eliminación son bastante complejos, pero este tipo de problema se ve muy especial y por lo tanto más fácil (espero). A grandes rasgos, es sólo un sistema de "lineal" ecuaciones en las variables $x^2$, $xy$, $y^2$, y $z$. ¿Hay algún tipo de diagonalización proceso que se puede aplicar, por ejemplo ?

Editar: A partir de la propuesta de respuesta a continuación, veo que las cosas pueden ser simplificado mediante el establecimiento $p=3x+3y$$q = 3x-y$. A continuación, las ecuaciones son:

$$p^2 = 32 + 256z$$ $$pq = 8 + 376z$$ $$q^2 = 512z$$ Puedo, a continuación, eliminar la $p$$q$. Hay siempre una transformación lineal que simplifica el problema de esta forma? Si la hay, ¿cómo puedo calcular?

Answer 1

Usted puede utilizar eliminación gaussiana (u otros métodos equivalentes) para encontrar las expresiones para $x^2$, $xy$ y $y^2$ en términos de $z$ - tratarlos como variables independientes, y el sustituto de estos para obtener una ecuación para la z. A continuación, usted todavía tiene que resolver para$x$$y$.

Hay una forma más fácil en este caso, pero en un caso general, esto hace que el progreso.

Answer 2

Marca de la idea con las incógnitas $\,x^2\,,\,xy\,,\,y^2\,$ , utilizando la matriz ampliada:

$$\begin{pmatrix} 9&18&9&\;\;256z+32\\9&6&\!\!\!\!-3&\;\;376z+8\\9&\!\!\!\!-6&1&\;\;512z\end{pmatrix}\stackrel{\begin{cases}R_2-R_1\\R_3-R_1\end{cases}}\longrightarrow \begin{pmatrix} 9&18&9&\;\;256z+32\\0&\!\!\!\!-12&\!\!\!\!-6&\;\;120z-24\\0&\!\!\!\!-24&\!\!\!\!-8&\;\;256z\end{pmatrix}\longrightarrow$$

$$\stackrel{R_3-2R_2}\longrightarrow \begin{pmatrix} 9&18&9&\;\;256z+32\\0&\!\!\!\!-12&\!\!\!\!-6&\;\;120z-24\\0&0&4&\;\;16z+48\end{pmatrix}$$

Llegamos así

$$\text{From}\,\,R_3\,:\;\;4y^2=16z+48\Longrightarrow y=\pm\sqrt{4z+12}$$

$$\text{From}\,\,R_2\wedge R_3\,\,\text{above}\;\;-12xy-6y^2=120z-24\Longrightarrow $$

$$\pm 2x\sqrt{4z+12}-16z-48=20z-4\Longrightarrow \pm x\sqrt{4z+12}=18z+22\Longrightarrow$$

$$x=\pm\frac{9z+11}{z+3}$$

y etc.

Answer 3

Inteligente Observador de la Solución (como en la Marca de comentario)

Indicar con la mano derecha lados por $a$, $b$, $c$. En otras palabras, $a = 32+256z$, $b = 8 + 376z$, $c = 512z$. También, vamos a $p = 3x + 3y$$q = 3x - y$. A continuación, las ecuaciones son simplemente: $$ p^2 = a \quad ; \quad pq = b \quad ; \quad q^2 = c$$ A partir de esto, conseguimos $b^2 - ac = 0$. La sustitución de $a$, $b$, $c$ nos da el mismo resultado que obtuvimos de Mathematica: $161z^2 -162z + 1 = 0$.

Tonto Solución Mecánica (que es lo que necesito)

Deje $M$ ser la matriz $$ M = \begin{pmatrix} 9&18&9\\9&6&\!\!\!\!-3\\9&\!\!\!\!-6&1\end{pmatrix}$$ y vamos a $u = x^2$, $v = xy$, $w = y^2$. Entonces las ecuaciones originales puede ser escrito como $M.[u, v, w]^t = [a, b, c]^t$.

Utilizando las técnicas estándar (autovalores o eliminación Gaussiana), podemos encontrar una matriz diagonal $D$ y una matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}MP = D$. La solución del sistema de ecuaciones es, a continuación,$[u, v, w]^t = PD^{-1}P^{-1}[a, b, c]^t$. Establecimiento $v^2 = uw$ nuevo nos da la ecuación de $161z^2 -162z + 1 = 0$.

Answer 4

Factorizar el lado izquierdo de independiente de x y de y, y es fácil después.