Prueba $P(\sum_nX_n\text{ converges})=P(\sum_nX_n\mathbb{I}_{\{|X_n|\leq c_n\}}\text{ converges})$

Question

$\{X_n\}$ es una secuencia de variables aleatorias, $\{c_n\}$ es una secuencia de números positivos, $\sum\limits_{n}P(|X_n|> c_n)<\infty$ Demostrar $P(\sum_nX_n\text{ converges})=P(\sum_nX_n\mathbb{I}_{\{|X_n|\leq c_n\}}\text{ converges})$

Aquí están mis intentos. $\sum\limits_{n}P(|X_n|> c_n)<\infty$ obtenemos $\lim_nP(|X_n|> c_n)=0$ También $P(\sum_nX_n\mathbb{I}_{\{|X_n|\leq c_n\}}\text{ converges})=P(\lim\limits_n\sum\limits_{k\geq n}X_k\mathbb{I}_{\{|X_k|\leq c_k\}}\text{ converges})$ y cuando $n$ es lo suficientemente grande, $P(|X_k|>c_k)=0$ y la proposición parece correcta, pero no sé cómo demostrarlo de forma rigurosa.

Answer 1

Considere $A = \{ \omega: |X_n| > c \text{ for an infinite number of } n\} = \cap_{N = 1}^{\infty} \cup_{n = N}^{\infty} \{ |X_n| > c\}$ .

Por el lema de Borel-Cantelli $P(A) = 0$ .

Para cualquier $ \omega \notin A$ sólo hay un número finito de $n$ tal que $X_n \ne X_nI_{|X_n| > c}$ . Por lo tanto, para cualquier $ \omega \notin A$ serie $\sum_n X_n $ y $\sum_n X_nI_{|X_n| > c}$ converge (o diverge) simultáneamente. Así que $$P( (\Omega \backslash A ) \cap \{ \sum_n X_n < \infty \}) = P( (\Omega \backslash A ) \cap \{ \sum_n X_nI_{|X_n| > c} < \infty \}).$$ Desde $P(\Omega \backslash A ) = 1$ la afirmación queda demostrada.