Sea $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ sea un espacio de medidas. Conozco el siguiente resultado:
Sea $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ sea una sucesión creciente de funciones medibles no negativas con $X=\lim_nX_n$ . Entonces $\int_{\Omega}X\,d\mu=\lim_n\int_{\Omega}X_n\,d\mu$ .
Quiero probar: Sea $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ una secuencia creciente de funciones integrables con $X=\lim_nX_n$ . Si $\sup_n\int_{\Omega}X_n\,d\mu<\infty$ entonces $X$ es integrable y $\int_{\Omega}X\,d\mu=\lim_n\int_{\Omega}X_n\,d\mu$ .
Mi intento: Tenemos que $\{X_n-X_1\}_{n=1}^{\infty}$ es una sucesión creciente de funciones medibles no negativas. Por el resultado anterior, $$\int_{\Omega}(X-X_1)\,d\mu=\lim_n\int_{\Omega}(X_n-X_1)\,d\mu=\lim_n\int_{\Omega}X_n\,d\mu-\int_{\Omega}X_1\,d\mu.$$ Si asumo la integrabilidad de $X$ puedo decir $$\int_{\Omega}(X-X_1)\,d\mu=\int_{\Omega}X\,d\mu-\int_{\Omega}X_1\,d\mu,$$ así que $$\int_{\Omega}X\,d\mu=\lim_n\int_{\Omega}X_n\,d\mu.$$ Por lo tanto, queda por demostrar que $X$ es integrable. Aquí es donde debería usar el hecho de que $\sup_n\int_{\Omega}X_n\,d\mu<\infty$ pero no sé cómo proceder.
