¿Cómo denotar una expresión arbitraria que incluya cierto número de variables ficticias?

Question

Le pondré un ejemplo.

$(n)_{n=0}^{\infty}$ es una referencia a un objeto Sequence concreto.

$$ 0, 1, 2, \ldots $$

Es otra forma de hacer referencia al mismo objeto de secuencia.

$a_n = n\forall n\in \mathbb{N}$ , $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ es otra forma de hacer referencia a ese objeto Secuencia. Usted consigue el punto.

Sin embargo, la notación $(\cdot )_{n=0}^{\infty}$ donde $\cdot$ es una expresión arbitraria que incluye el símbolo $n$ es una especie de plantilla para referenciar objetos Sequence, como $(\frac{1}{n+1} )_{n=0}^{\infty}$ o algo así. Por lo tanto, me gustaría ser capaz de decir:

Una forma de denotar una secuencia es $(arb\_expression(n))_{n=0}^{\infty}$ . Donde arb_expression significa que puede sustituir cualquier expresión "bien definida" por un símbolo ficticio. $n$ . ¿Existe una notación matemática bien definida para hacerlo?

EDIT: para que quede claro, estoy preguntando acerca de cómo definir, de una manera matemáticamente agradable, la forma en que se denotan los objetos Secuencia (y, por supuesto, que se extiende más allá de las secuencias). Sé que se puede expresar bastante bien con palabras (acabo de hacerlo), pero estoy pidiendo un método que sea "matemáticamente agradable", en cierto sentido.

Answer 1

La notación que has proporcionado, es decir, $(a_n)_{n\in\Bbb N}$ o $\{a_n\}_{n\in\Bbb N}$ -es perfecto. Es la abreviatura de esto:

$$\{a_n : n\in\Bbb N\}$$

Los dos puntos se leen como "tal que" y le permiten proporcionar parámetros para su variable ficticia. Si tiene varios parámetros, utilice $\wedge$ para "y" y/o $\vee$ por "o".

(Por supuesto, puede cambiar $n\in\Bbb N$ para $n=1$ à $\infty$ .)

Answer 2

Pista: Tenga en cuenta que las secuencias $(a_n)_{n=0}^\infty$ son sólo funciones con dominio $\mathbb{N}$ . Así pues, todo lo que pueda decirse sobre las funciones con dominio $\mathbb{N}$ también puede decirse de las secuencias.

Al considerar, por ejemplo, un de valor real secuencia $(a_n)_{n=0}^\infty$ podemos considerar equivalentemente \begin{align*} &f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\\ &f(n)=a_n \end{align*} y cada regla matemáticamente válida puede aplicarse para especificar $a_n$ .