Automorfismos de orden infinito de polinomios planares

Question

Sea $R_n$ sea el anillo polinómico integral $\mathbb{Z}[x_1,x_2,...,x_n]$ , dejemos que $A_n$ sea el grupo de los automorfismos de anillo $\mathrm{Aut}(R_n)$ y para $f\in R_n$ deje $\mathrm{Aut}(f)=\{\alpha\in A_n\ |\ \alpha(f)=f\}$ .

Definir un polinomio $f\in R_n$ ser interesante si $\deg_{x_i}(f)\geq 1$ para $1\leq i\leq n$ y hay un elemento de orden infinito en $\mathrm{Aut}(f)$ .

Desde $A_1=\{n\pm x\ |\ n\in \mathbb{Z}\}$ no parece haber ningún miembro interesante de $R_1$ .

Por otro lado, $\kappa=x^2+y^2+z^2-xyz-2$ es interesante ya que Horowitz demostró en Automorfismos inducidos en caracteres de Fricke de grupos libres que $\mathrm{Aut}(\kappa)\cong \mathrm{PGL}(2, \mathbb{Z}) \rtimes (\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2)$ .

Por lo tanto, hay miembros interesantes de $R_n$ para todos $n\geq 3$ .

Esta es mi pregunta:

¿Existen polinomios planares interesantes?

Precisamente, ¿existen $f\in \mathbb{Z}[x,y]$ con titulación en $x$ y $y$ al menos 1 para que $\mathrm{Aut}(f)$ contiene un elemento de orden infinito?

Imagino que la estructura del grupo afín de Cremona será relevante aquí. Véase Grupos de Cremona bidimensionales que actúan sobre complejos simpliciales de Wright para un teorema de estructura relevante para $A_2$ (Teorema 2.4 con $k=\mathbb{Q}$ ).

Actualización : Dados los útiles comentarios de Yves, que dan respuesta al post original (e incluso a la versión ligeramente editada), tengo una segunda pregunta que hacer que está demasiado relacionada para publicarla por separado.

Ahora decimos $f\in R_n$ es muy interesante si es interesante y $f\not=\alpha(g)$ donde $\alpha\in A_n$ y $g$ tiene grado 0 en alguna variable. Creo que $\kappa$ sigue siendo un ejemplo (aunque no me parece evidente).

He aquí la segunda pregunta:

¿Existen polinomios planares muy interesantes?

Answer 1

En primer lugar, YCor ha respondido a la primera pregunta en los comentarios. He aquí un resumen:

Tomemos cualquier polinomio $f(x)$ en una sola variable $x$ y aplicar cualquier automorfismo $\alpha$ para obtener $\alpha(f)$ . Entonces $\alpha\circ T\circ \alpha^{-1}$ es un automorfismo que fija $\alpha(f)$ siempre que $T$ es un automorfismo que fija $x$ . En particular, tomando $T$ ser $T(x,y)=(x,y+P(x))$ para cualquier $P(x)$ da un elemento de orden infinito que fija $\alpha(f)$ . Tenga en cuenta que $T$ es invertible ya que $T^{-1}(x,y)=(x,y-P(x))$ .

En cuanto a la segunda pregunta, el documento Automorfismos del plano que preservan una curva de Jérémy Blanc e Immanuel Stampfli describe grupos de automorfismo similares de forma bastante explícita sobre campos (característica arbitraria).

En concreto, su Teorema 1 demuestra que la respuesta a la segunda pregunta es negativa. Dice que el grupo de automorfismos (en el contexto del artículo) es algebraico (rígido) si y sólo si no hay ningún automorfismo que envíe a $f$ a un polinomio de una variable (una "valla" en el lenguaje del artículo).

He aquí un ejemplo ilustrativo de su artículo:

Si $f(x,y)=xy-1$ que no parece ser equivalente a un polinomio de una variable, entonces sobre $\mathbb{k}$ el grupo de automorfismo que fija $f$ es $\mathbb{k}^*\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ generado por $(x,y)\mapsto (y,x)$ y $t\mapsto (tx,t^{-1}y)$ . Si $|t|\not=1$ entonces existe un elemento de orden infinito. Sin embargo, sobre $\mathbb{Z}$ el escalar $t=\pm 1$ por lo que parece que no existe tal elemento de orden infinito.

Sospecho que este ejemplo es similar a lo que ocurre en general.