Prueba del DGC de los números Impares

Question

He encontrado este problema en Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones mientras estudiaba para un examen y estoy teniendo problemas para resolverlo.

Demostrar que para $a,b\in N^*, a \ge b, 2\gcd(a,b) = \gcd(a+b, a-b)$ si $a$ y $b$ son impar.

Mi idea actual era utilizar los principios del Algoritmo Euclidiano para demostrarlo de alguna manera, pero me estoy topando con un muro.

Cualquier ayuda sería estupenda, ¡gracias!

Answer 1

No se puede. Toma $a=3,b=1$ que son impar. Se nos pide que demostremos $2=2\gcd(3,1)=\gcd(3,1,2)=1$ que es falso.

Answer 2

Sea $d=\gcd(a,b)$ y $l=\gcd(a+b,a-b)$

entonces $ax+by = d$ $x,y$ y $(a+b)p + (a-b)q = l$ $p,q$

si $l = \gcd(a+b,a-b)$
$l\mid a+b$ y $l\mid a-b$
$l\mid 2a$ y $l\mid 2b$
$l\mid 2(ax+by)$ , $x,y$
$l\mid 2d$

si $d=\gcd(a,b)$
$d\mid a$ y $d\mid b$
$d\mid a+b$ y $d\mid a-b$
si $a,b$ es impar $\gcd(a,b)$ también impar y si $a,b$ impar $a+b$ y $a-b$ están en paz.
$2d\mid a+b$ y $2d\mid a-b$
$2d\mid(a+b)p + (a-b)q$ , $p,q$
$2d\mid l$
desde $l\mid 2d$ y $2d\mid l$ , $l=2d$
Por lo tanto $2\gcd(a,b) =\gcd(a+b,a-b)$