Pregunta concreta: ¿existe un complejo CW finito homeomorfo a una esfera tal que una de sus celdas máximas tenga como cierre una bola cuya frontera esté embebida en la esfera CW como una esfera con cuernos de Alexander?
1) No. $K$ es el $2$ -del complejo CW, entonces $K$ tiene una vecindad de cilindros cartográficos en $S^3$ y, por tanto, por Teorema de Nicholson es manso, es decir, equivalente a un subpoliedro de $S^3$ por un homeomorfismo $h$ de $S^3$ . Desde $K$ es $2$ -no es difícil demostrar que $h$ también toma cualquier $2$ -esfera en $K$ en un subpoliedro de $S^3$ . Así que $K$ no puede contener la esfera cornuda.
2) Sí, si se permite una esfera salvaje de codimensión uno no especificada en lugar de la esfera con cuernos de Alexander. Según el ejemplo 7.11.2 de la página 419 del libro Libro Daverman-Venema (este parece ser uno de los pocos resultados originales del libro, quizá el más importante), $S^n$ para $n\ge 6$ contiene una esfera incrustada salvajemente $\Sigma$ con una vecindad de cilindros cartográficos $N$ . Por construcción, el complemento del interior de $N$ consta de dos $n$ -bolas. De ello se deduce que los cierres de los dominios complementarios de $\Sigma$ son los conos de mapeo de algunos automapas de $S^{n-1}$ . Así obtenemos un complejo CW con una $0$ -célula, una $(n-1)$ -celda y dos $n$ -que es homeomorfo a $S^n$ y tiene una $(n-1)$ -esqueleto.
Pregunta complementaria: si la respuesta es no, ¿existe un complejo CW finito homeomorfo a una esfera tal que el cierre de una de las celdas máximas sea una bola, pero el cierre de su complemento no sea una bola?
1) Sí. Puede pegar uno de los dominios complementarios de $\Sigma$ y un $n$ -a lo largo de su esfera límite. El resultado es de nuevo $S^n$ según la proposición 7.10.1 de Daverman-Venema.
2) También debo mencionar un ejemplo más sencillo pero algo similar. Utilizando el teorema de Edwards-Cannon, no es difícil construir un complejo CW regular finito $K$ que es homeomorfo a $S^5$ aunque el límite de algunos $2$ -(de hecho, de cada $2$ -celda) de $K$ es salvaje, visto como una copia de $S^1$ en $S^5$ . Más en detalle, si $H$ es una traingulación de una homología no simplemente conectada $3$ -esfera, entonces la doble suspensión $S^0*S^0*H$ es un complejo simplicial homeomorfo a $S^5$ el complejo CW deseado es el "prejoin". $(S^0*S^0)+H$ que es PL homeomorfo a $S^0*S^0*H$ y tiene todos sus $2$ -células unidas al círculo de suspensión $S^0*S^0$ . Al identificar los complejos CW regulares con sus conjuntos de caras no vacías, el prejoin $P+Q$ de dos posets se define colocando todos los elementos de $P$ debajo de todos los elementos de $Q$ en el diagrama de Hasse, y manteniendo el orden original dentro de $P$ y dentro de $Q$ . El complejo de orden de $P+Q$ se ve fácilmente que es isomorfo a la unión de los complejos de orden de $P$ y de $Q$ . Por ejemplo, $S^0*S^0*pt$ es un complejo simplicial con $4$ de $2$ -simples, mientras que $(S^0*S^0)+pt$ es un complejo celular con un solo (cuadrilátero) $2$ -célula.
Tenga cuidado $K$ es un complejo PL CW, con mapas de unión PL; el único problema es el homeomorfismo entre $K$ y $S^5$ .
