Identidad Zeta de Riemann

Question

[¿Cómo se puede demostrar que no se utiliza este método? 1 ¿Cómo se puede demostrar $\sum _{n \ge 2} (\zeta(n) - 1)$ ? Cuando sumas un Riemann $\zeta$ se obtiene una suma doble, con la función $-1$ delante de la función, la suma original de Riemann $\zeta$ comienza en $n=2$ así que ahí es donde el $2$ viene de. Pero después de eso no tengo ni idea de cómo probar la suma real y el hecho de que su límite es $1$ y que, por tanto, converge a $1$ . Considerar sumas parciales es lo que hay que hacer por lo que parece pero no he llegado a nada con eso.

Answer 1

La fórmula de Euler-Maclaurin da $$\zeta(n)-1=\sum_{k=2}^\infty\frac 1{k^n}=\mathcal O\left(\frac{2^{-n}}{n-1}\right)$$ Así que la serie converge absolutamente. De hecho tenemos $$\sum_{n=2}^\infty(\zeta(n)-1)=\sum_{n=2}^\infty\sum_{k=2}^\infty\frac 1{k^n}=\sum_{k=2}^\infty\sum_{n=2}^\infty\frac 1{k^n}=\sum_{k=2}^\infty\frac 1{k(k-1)}=1$$

Answer 2

Debido a la representación integral $$\zeta(n) = \frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{e^x-1}\,dx \tag{1}$$ tenemos $$\zeta(n)-1 = \int_{0}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x}\right)\,dx \tag{2}$$ así que $$\sum_{n\geq 2}\left(\zeta(n)-1\right) = \int_{0}^{+\infty}(e^x-1)\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x}\right)\,dx = \int_{0}^{+\infty}e^{-x}\,dx = \color{red}{\large 1}.\tag{3}$$ El intercambio de $\sum_{n\geq 2}$ y $\int_{0}^{+\infty}$ está permitido por el teorema de convergencia dominada.