cierre de la órbita de una acción de grupo sobre una variedad

Question

Sea $X$ sea una variedad algebraica (lisa) (sobre $\mathbb{C}$ ). Sea $G \subset \operatorname{Aut}(X)$ sea un subgrupo de automorfismos de $X$ . ¿Es cierto que para cualquier $x\in X$ el cierre $\overline{O_x}$ de la órbita de $x$ es una subvariedad o subesquema (posiblemente singular) de $X$ ?

Si no es así, ¿se pueden dar hipótesis más sólidas que garanticen una estructura de subesquema? En el caso que me interesa, $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ .

Answer 1

Sí, puede ser singular. Su pregunta es un poco esquizofrénica en que $X$ es algebraico, pero su $G$ no lo es, por lo que no queda claro si se desea el cierre en la topología analítica o en la de Zariski. El cierre analítico es muy poco probable que sea algebraico, así que voy a suponer Zariski.

Sea $X = {\mathbb C}^2$ , $x = (1,1)$ , $G$ generado por $[{4\atop 0} {0 \atop 8}]$ .

Entonces el cierre Zariski de la órbita $G\cdot x$ es { $(a,b) : a^3 = b^2$ }.

Answer 2

Una interpretación de tu pregunta (diferente de la de Allen) es que estás preguntando por el cierre topológico de la órbita en la analítica de $X$ . En ese caso, dejemos que $X = \mathbb{G}_m$ y que $G$ ser generado por una rotación irracional. Entonces el cierre de cualquier punto es un círculo, que no es la analización de ninguna subvariedad.