¿VECM representando un sistema I(0)?

Question

Me refiero a Johansen (1991) donde considera una $p$ -proceso autorregresivo dimensional de orden $k$

$$ X_t = \sum_{i=1}^{k} \Pi_i X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{1}\label{1} $$

escrito en forma de corrección vectorial de errores

$$ \Delta X_t = \Pi X_{t-1} \ + \ \sum_{i=1}^{k-1} \Gamma_i \Delta X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{2}\label{2} $$

donde $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i \ - \ I$ y $\Gamma_i = - \sum_{j=i+1}^k \Pi_j$ .

Afirma sin referencias ni pruebas que si el $\ p\times p \ $ matriz $\Pi$ tiene rango completo entonces $X_t$ es un proceso estacionario.

¿Puede alguien facilitarme una referencia o es capaz de demostrarlo?

Answer 1

Sí, proporcionaré una referencia y una intuición rápida. En Lutkepohls "New introduction to multiple time series Analysis" (2005, p.248) explica que el rango completo de $\Pi$ en la ecuación (2) implica en realidad que $X$ es estacionaria. El rango de una matriz está directamente relacionado con su invertibilidad, las matrices de rango completo son invertibles y las matrices de rango inferior son singulares. Esto es obvio si se piensa en el determinante como el producto de los elementos diagonales de la matriz reducida, cuando no es de rango completo al menos un elemento de este producto es cero haciendo que el determinante sea cero. La invertibilidad de $\Pi$ tiene que ver con la estabilidad de $\Pi$ lo que a su vez implica estacionariedad.