Funciones trigonométricas inversas

Question

Encuentre $f(x)$ si $f'(x)=4/\sqrt{1-x^2}$ y $f(1/2)=1$

Hasta ahora he integrado $f'(x)$ y han encontrado: $$f(x) =y = 4\arcsin(x), x=4\sin(y)$$

$$1/2=4\sin(1)$$ $$1/2=4(\pi/2)$$ $$1/2=2\pi$$

Así es $f(x)=1/2$ o $2\pi$ ?

Gracias

Answer 1

Si $f'(x) = \frac{4}{\sqrt{1-x^2}}$ entonces $f(x) = 4\arcsin(x) + c$ Ahora bien, si $f(1/2) = 1$ que tenemos: $4\arcsin(1/2) + c = 1 \Rightarrow c = 1 - 4(\pi/6)$ Por lo tanto:

$f(x) = 4\arcsin(x) + 1 - 4(\pi/6)$

Answer 2

$f\left(x\right)=4\arcsin\left(x\right)+C$ donde $c$ es una constante por determinar. Tomando $x=\frac{1}{2}$ se obtiene $$1=f\left(\frac{1}{2}\right)=4\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)+C=4\frac{\pi}{6}+C$$ de donde $C=1-\frac{2\pi}{3}$ .