Aquí voy a demostrar que $M$ y $N$ deben ser difeomórficas bajo sus hipótesis (asumiré que $M$ y $N$ son abiertos, es decir, sin límites).
Considere el límite directo (véase más abajo) $X= M \overset{f}{\to} N \overset{g}{\to} M \overset{f}{\to} N \overset{g}{\to}\cdots$ . Con esto me refiero a la unión $M \times \mathbb{N} \sqcup N\times \mathbb{N}$ modulo las identificaciones $(m,k)\sim (f(m),k), (n,k)\sim (g(n),k+1)$ para $m\in M, n\in N, k\in \mathbb{N}$ . Entonces $X$ es una variedad lisa, ya que es una unión anidada de variedades lisas. Análogamente, tenemos el límite directo $Y=N \overset{g}{\to} M \overset{f}{\to} N \overset{g}{\to}\cdots$ . Claramente, $X \cong Y$ ya que el límite directo sólo depende de la cola de la secuencia. También, $X$ (y por lo tanto $Y$ ) es difeomorfo a los límites directos $ M \overset{g\circ f}{\to} M \overset{g\circ f}{\to} M \overset{g\circ f}{\to}\cdots$ y $N\overset{f\circ g}{\to} N\overset{f\circ g}{\to} N\overset{f\circ g}{\to}\cdots$ .
Reclamación: Si $F:M\to M$ es isotópica a la identidad, entonces el límite directo $M\overset{F}{\to} M\overset{F}{\to} M\overset{F}{\to} \cdots \cong M$ .
De lo anterior se deduce que $M\cong N$ .
Para demostrar esta afirmación $F_t:M\to M, t\in [0,1]$ sea una isotopía de $F$ a la identidad, por lo que $F_1=F$ y $F_0=Id$ . Tome un agotamiento de $M$ por submanifoldos suaves y compactos con límite $K_1\subset K_2\subset K_3 \subset \cdots$ de modo que $F([0,1]\times K_i)\subset int(K_{i+1})$ , $K_i\subset int(K_{i+1})$ y $\cup K_i=M$ . Vemos que $X_t = M\overset{F_t}{\to} M\overset{F_t}{\to}M\overset{F_t}{\to}\cdots$ es difeomorfo a $Y_t= K_2 \overset{F_t}{\to} K_4 \overset{F_t}{\to} K_6 \overset{F_t}{\to} \cdots$ para todos $t$ (cuando en realidad queríamos decir $F_{t| K_{2i}}$ en los mapas de este límite directo y topologizado por la inclusión de interiores). Para verlo, obsérvese que $X_t$ es un cociente de $M\times \mathbb{N}$ que se agota en $\{(K_k,i), k,i\in\mathbb{N}\}$ . Desde $Y_t\subset X_t$ basta con demostrar que cada punto de $X_t$ está en $Y_t$ . Supongamos que $x\in X_t$ entonces $x$ es la imagen de algún $x'\in (K_k,i)$ para algunos $k,i$ . Si $k\leq 2i$ entonces $x'\in (K_{2i},i)$ por lo que vemos que $x\in Y_t$ . Por lo demás, $k>2i$ y vemos que $(K_k,i) \overset{F_t}{\subset}(K_{k+1},i+1) \overset{F_t}{\subset} \cdots \overset{F_t}{\subset} (K_{2k-2i},k-i)$ después de tomar el cociente, por lo que $x\in Y_t$ .
Por el Teorema de la extensión de isotopías se puede ver que $Y_0 \cong Y_1$ . Esto da el difeomorfismo deseado $M\cong M\overset{F}{\to} M\overset{F}{\to} M\overset{F}{\to} \cdots $ .
En realidad utilizamos el teorema de extensión de isotopías por inducción. Queremos encontrar una secuencia de difeomorfismos $G^i: K_{2i}\to K_{2i}$ para que $G^{i+1}_{|K_{2i}} = F\circ G^i$ . Esto da inmediatamente el difeomorfismo
$$\begin{matrix} Y_1= K_2 & \overset{F}{\to} & K_4 & \overset{F}{\to} & K_6 & \overset{F}{\to} & \cdots\\ G^1 \uparrow & &G^2\uparrow & &G^3\uparrow & & \\ Y_0= K_2 & \hookrightarrow & K_4 & \hookrightarrow & K_6 & \hookrightarrow & \cdots \end{matrix}$$
En realidad construiremos una difeotopía $G^i_t:K_{2i}\to K_{2i}, t\in [0,1]$ tal que $G^{i+1}_{t|K_{2i}}=F_t\circ G^i_t$ donde $G^i_0=Id$ y, a continuación $G^i=G^i_1$ para el difeomorfismo deseado.
Sea $G^1_t=Id$ . Supongamos que hemos construido $G^i_t$ por inducción, de modo que $G^i_0=Id$ , $G^i_{t|K_{2i-2}}=F_t \circ G^{i-1}_t$ , $t\in [0,1]$ . Entonces $F_t\circ G^i_t: K_{2i}\to int(K_{2i+2})$ es una isotopía de $F_0\circ G^i_0=Id$ a $F_1\circ G^i_1=F\circ G^i_1$ . Por el teorema de extensión de isotopía, existe una difeotopía $G^{i+1}_t: K_{2i+2}\to K_{2i+2}$ tal que $G^{i+1}_0=Id$ y $G^{i+1}_{t|K_{2i}}=F_t\circ G^i_t$ con soporte compacto en $int(K_{2i+2})$ . Esto completa la prueba.
Adenda: Añadiré alguna explicación sobre los límites directos. Consideremos una secuencia de incrustaciones suaves de variedades abiertas $X_i \overset{f_i}{\to} X_{i+1}$ . Por el límite directo $X$ de $X_1\overset{f_1}{\to} X_2 \overset{f_2}{\to} X_3 \cdots$ me refiero al cociente de $X_1\sqcup X_2 \sqcup X_3 \sqcup \cdots$ con respecto a la relación de equivalencia generada por $x_i \sim f_i(x_i)$ para todos $x_i \in X_i, i\in \mathbb{N}$ . Entonces existe una incrustación natural de $X_i \hookrightarrow X$ para todos $i$ de tal manera que $X= \cup_i X_i$ y se obtiene $X$ la estructura de una variedad lisa tomando el atlas de cartas generado por las cartas de cada $X_i$ .
El espacio $X$ viene determinado por el límite directo de cualquier subsecuencia $\{ X_{i_j}\}$ con mapas $F_j: X_{i_j}\to X_{i_{j+1}}$ definido por $F_j=f_{i_{j+1}-1}\circ \cdots \circ f_{i_j}$ . Por tanto, se puede comprobar que dos límites directos son difeomorfos si existen difeos. compatibles entre subsecuencias, lo que justifica algunos de los argumentos anteriores.
