$\DeclareMathOperator{Rm}{Rm}$ Denotemos por $R$ el tensor de curvatura de Riemann de tipo $(1,3)$ y $\Rm$ que de tipo $(0,4)$ . Se relacionan mediante la fórmula $ \Rm(X,Y,Z,T) = g(R(X,Y)Z,T), $ donde $g$ denota la métrica de Riemann.
Las consideraciones habituales sobre la regla de Leibniz y la compatibilidad entre la métrica riemanniana y su conexión Levi-Civita dan la igualdad $$ (\nabla_X\Rm)(Y,Z,V,W) = g((\nabla_XR)(Y,Z)V,W). $$ En resumen, dice que la diferenciación covariante conmuta con el isomorfismo musical. Sumemos esta última igualdad sobre una permutación cíclica de $(X,Y,Z)$ :
\begin{multline} (\nabla_X\Rm)(Y,Z,V,W)+(\nabla_Y\Rm)(Z,X,V,W)+(\nabla_Z\Rm)(X,Y,V,W) = \\ g((\nabla_XR)(Y,Z)V+(\nabla_YR)(Z,X)V+ (\nabla_ZR)(X,Y)V,W). \end{multline}
Por tanto, que (2) sea cierta equivale a que $$\tag{3} (\nabla_X\Rm)(Y,Z,V,W)+(\nabla_Y\Rm)(Z,X,V,W)+(\nabla_Z\Rm)(X,Y,V,W) =0. $$
Desde $\Rm(A,B,C,D) = \Rm(C,D,A,B)$ también lo hace su derivada covariante: $(\nabla_X\Rm)(A,B,C,D) = (\nabla_X\Rm)(C,D,A,B)$ (esto es una aplicación directa de la regla de Leibniz). Por lo tanto, (3) es equivalente a $$ (\nabla_X\Rm)(V,W,Y,Z)+(\nabla_Y\Rm)(V,W,Z,X)+(\nabla_Z\Rm)(V,W,X,Y) =0, $$ que ahora es básicamente (1) con un reetiquetado adecuado de las variables.
Si se me permite un pequeño comentario: Creo que la notación $\nabla T (X_1,\ldots,X_n)$ para la derivada covariante de un tensor es confusa. Prefiero escribir $(\nabla_{X_1}T)(X_2,\ldots,X_{n})$ o $(\nabla_{X_n}T)(X_1,\ldots,X_{n-1})$ que no deja lugar a dudas. Algunos autores (por ejemplo, Gallot-Hulin-Lafontaine) escriben $(\nabla T)(X_1;X_2,\ldots,X_n)$ (tal vez $(\nabla T)(X_1,\ldots,X_{n-1};X_n)$ ) para destacar la diferencia entre la dirección de diferenciación y las demás direcciones.
