En un espaciotiempo estático, existe (por definición) un campo vectorial de Killing semejante al tiempo $\xi^\mu$ lo que implica que las geodésicas con cuatro velocidades $u^\nu$ tienen una cantidad conservada $\epsilon = -g_{\mu\nu}\xi^\mu u^\nu$ . Por ejemplo, en el espaciotiempo de Schwarzschild, esto es $$\epsilon = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda}\text{,}$$ donde $\lambda$ es un parámetro afín arbitrario para la geodésica. Esta es la generalización correcta de la conservación de la energía orbital en el contexto relativista general.
Para una partícula masiva en el espacio de Schwarzschild, para la que podemos tomar $\lambda$ que sea el momento adecuado $\tau$ esto conduce a una analogía directa de la energía orbital newtoniana corregida por un extra $r^{-3}$ término, hasta el entendimiento de que el Schwarzschild $r$ y $\tau$ tienen un significado algo diferente del que tienen en la teoría newtoniana: $$\text{const} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{l^2}{r^2} - \frac{GM}{r} - \frac{GMl^2}{c^2r^3}\text{,}$$ donde $l = r^2(\sin^2\theta)(\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}\tau)$ es el momento angular específico, otra cantidad conservada para el espaciotiempo de Schwarzschild. Los dos primeros términos constituirían la energía cinética newtoniana por masa, descompuesta en componentes radial y angular.
Para una partícula sin masa, esto es un poco diferente: $$\epsilon^2 = \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 + \frac{l^2}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\text{.}$$
En la RG no hay energía gravitatoria, por lo que el fotón no intercambió "energía luminosa" con energía potencial.
Pero en los espaciotiempos estáticos, siempre podemos definir una energía orbital total conservada para las geodésicas.
Acabo de leer la derivación de sus fórmulas en el libro GR de Carrolls. Obtienes cantidades conservadas pero no un término exacto de energía. Obtienes algo como energía por unidad de masa. Convertir esto en energía parece crítico ya que la masa del fotón es cero (y miramos a los fotones en este ejemplo). Matemáticamente tenemos una cantidad conservada pero no veo como determinamos que es realmente la energía y no otra cosa.
Una cantidad conservada generada por la invariancia de la traslación temporal es como funciona la conservación de la energía en la física moderna; esa es la moraleja del teorema de Noether y el significado geométrico de tener un campo vectorial de Killing semejante al tiempo.
Su energía específica (es decir, por masa) es exactamente como funciona el potencial gravitatorio incluso en la teoría newtoniana, e incluso para un fotón puede interpretarse como relativo a la energía en el infinito, o adaptado a una escala establecida en cualquier lugar a lo largo de la órbita, para el caso. Operativamente, es exactamente la energía específica medida por una familia de observadores estáticos (como si se movieran con el campo vectorial de Killing), ya que un producto interno con cuatro velocidades da el factor de Lorentz relativo, o equivalentemente, el componente temporal de uno en un marco inercial local como si se moviera con el otro.
