Dos vectores distintos $x,y$ y existencia de funcional lineal.

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial, y sea $x,y\in V$ s.t $x\neq y$ . Entonces existen funcionales lineales, $\phi$ s.t $\phi(x)\neq\phi(y)$

¿Cómo puedo demostrar la existe ¿parte?

Gracias por su lectura.

Answer 1

Pistas:

1) Si $\,\{x,y\}\,$ linealmente independientes, entonces completa este conjunto a una base de $\,V\,$ y definir

$$\phi(v):=\begin{cases}1&,\;\; v=x\\0&,\;\;v\neq x\end{cases}$$

y ampliar la definición por linealidad

2) Si $\,y=kx\,\,\,,\,\,k\in\Bbb F=\,$ campo de definición, entonces $\,k\neq 1\,$ y completar $\,\{x\}\,$ a una base de $\,V\,$ (por qué $\,x\neq 0\,$ ?) definir $\,\phi\,$ como arriba , y $\,\phi(y)=k\phi(x)\neq\phi(x)\,$

Answer 2

Elegir una base Hamel $\mathcal{B}$ y escribe $x-y = \sum_{i=1}^n \alpha_i b_i$ donde $\alpha_i$ están en el campo escalar y $b_i \in \mathcal{B}$ . Entonces algunos $\alpha_j \neq 0$ desde $x-y \neq 0$ . Entonces $T_j$ la proyección cartográfica sobre el $b_j$ vector tiene $T_j(x-y) = \alpha_j \neq 0$ Por lo tanto $T_j(x) \neq T_j(y)$ .

Answer 3

Por linealidad, basta con hacer eso para $y=0$ . Entonces $x\neq 0$ . Tan completo $\{x\}$ en una base de $V$ . Establecer $\phi(\lambda x):=\lambda$ . Luego amplía lo que quieras en el resto de la base. Digamos por $0$ .