Cálculo del cierre de Zariski de un subgrupo de SL(n,Z)

Question

Supongamos que $\Gamma$ es un subgrupo finitamente generado de $SL(n,\mathbb{Z})$ dada como una lista de generadores. Nos gustaría (de forma algo eficiente) intentar calcular el cierre de Zariski de $\Gamma$ que es un grupo algebraico (real). El método debe ser asistido por ordenador pero riguroso.

En los casos que estamos considerando, $\Gamma$ normalmente será Zariski denso en $SL(n,\mathbb{R})$ por lo que el algoritmo que buscamos debe estar optimizado para ese caso. También nos gustaría sólo para conocer la respuesta, por lo que tener el programa se ejecute para siempre si $\Gamma$ no es Zariski denso en $SL(n,\mathbb{R})$ nos parece bien: nos limitaremos a analizar ese ejemplo más a fondo.

Probablemente podamos idear algún método ad hoc para hacerlo, pero me preguntaba si alguien en MO tiene alguna idea o referencia interesante.

Answer 1

Si se espera que el subgrupo sea Zariski-denso, existe un algoritmo sencillo que funciona la mayoría de las veces: calcular la proyección modular módulo a un conjunto de $m.$ Si la proyección es onto para cualquier $m > 3,$ el subgrupo es Zariski denso (Éste es un teorema de T. Weigel -- creo que hay una versión más débil debida a Alex Lubotzky: Lubotzky, Alexander(IL-HEBR) Uno para casi todos: generación de SL(n,p) por subconjuntos de SL(n,Z). Algebra, K-theory, groups, and education (Nueva York, 1997), 125-128, Contemp. Math., 243, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999. 20G30 ). Comprobar que la proyección modular es onto no es trivial, y realmente depende de dónde obtengas tus grupos. En muchos casos se puede utilizar la caracterización de Zalesskii-Serezhkn (si los generadores son de transvección), o algo como el teorema de Chris Hall debería funcionar para $SL(n)$ (Hall, Chris(1-MI) Gran monodromía simpléctica u ortogonal módulo l. (Resumen en inglés) Duke Math. J. 141 (2008), no. 1, 179-203. -- trata el caso simpléctico, pero el caso SL no debería ser más difícil, ahí sólo se necesita irreducibilidad y que el normalizador contenga una transvección). En general, existe el algoritmo de Neumann-Praeger para ver si un conjunto de matrices genera $SL(n, p)$ -- puede haber mejores algoritmos implementados en Magma (para Neumann-Praeger, véase el artículo de estos autores).

Answer 2

Un algoritmo que calcula el cierre de Zariski de un finitely está disponible en H. Derksen, E. Jeandel, P. Koiran `Quantum automata and algebraic groups', Journal of Symbolic Computation 39 (2005) 357-37.

Nótese que hay algunas imprecisiones en el documento (por ejemplo, la enunciado del teorema 11).

Answer 3

De hecho, la última palabra sobre esto es mi pape reciente r; pero el remate es que el subgrupo es Zariski-denso si y sólo si hay dos elementos no conmutativos, tales que el grupo de Galois del polinomio característico de uno de ellos es el grupo simétrico completo.

Answer 4

Esto va a ser demasiado largo para un comentario pero no es realmente una "respuesta". Supongamos, por ejemplo, que el cierre de Zariski es conexo y que $\Gamma$ es libre de torsión (esto puede conseguirse pasando a un subgrupo de índice finito del grupo finitamente generado $\Gamma$ pero no sé cómo hacerlo algorítmicamente). Dado un generador $\theta $ de orden infinito, toma el cierre de Zariski $C(\theta)$ del grupo generado por $\theta$ se trata de un subgrupo abeliano infinito Zariski cerrado y, por tanto, determina un elemento $X$ en el álgebra de Lie. Se puede tomar el módulo más pequeño del álgebra de Lie generado por conjugados de $X$ por elementos $w$ de $\Gamma$ como se trata de un espacio de dimensión finita, sólo hay que mirar un número finito de palabras $w$ en los generadores. Esto da el álgebra de Lie del cierre de Zariski, y el grupo de Lie correspondiente debería ser el cierre de Zariski.