Los átomos necesarios para la existencia de un filtro genérico?

Question

Estoy leyendo Algunas aplicaciones del método de forzar por Todorchevich y Farah y uno de los ejercicios que parece ser malo para mí.

Definiciones

Nos corregir algunos parcialmente conjunto ordenado $(P,\preceq)$.

Un filtro en el poset es un conjunto $G\subseteq P$ tal que

1. siempre que $p\in G$$p\preceq q$$q\in G$, y
2. para todos los $p,q\in G$, $r\in G$ tal que $r\preceq q$$r\preceq p$.

El conjunto $D\subseteq P$ es denso si para todas las $p\in P$, $q\in D$ tal que $q\preceq p$.

Un átomo es un elemento $p\in P$ de manera tal que el conjunto $\{q\in P:q\preceq p\}$ es linealmente ordenado por $\preceq$.

Ejercicio

Hay un filtro de $G$ que cruza todas denso conjunto (un filtro genérico) si y sólo si hay un átomo en $P$.

Contraejemplo

Deje $P=\mathbb{Z}$ y deje $p\preceq q$ fib $|p|>|q|$ o $p=q$. A continuación, $(P,\preceq)$ no tiene ningún átomo, sino $G=P$ es un filtro que se cruza cada subconjunto y por lo tanto cada subconjunto denso.

Hay algo mal con mi contraejemplo? Si no, ¿hay alguna versión de que el ejercicio está relacionado con forzando y es correcto?

Ya hubo algunas especulaciones sobre lo que realmente está en el texto, aquí es la parte pertinente de la primera página:

Answer 1

Los autores son, probablemente, suponiendo que para cada $p$ hay$q,r < p$$q \perp r$. Esto es una consecuencia de una propiedad de la poset conocido como separativity.

Un (vacío) poset $P$ que es la separación no tiene filtro genérico. Para ver esto, vamos a $G$ ser un filtro genérico en $P$ y deje $p \in P$. Pick $q,r < p$ por encima de con $q \perp r$. En la mayoría de los una de $q$$r$$G$, porque son incompatibles. En particular,$G \not = P$. Por otra parte, vemos que para cada $p \in P$ hay algo de $s < p $$s \not \in G$. Así el conjunto $P \setminus G$ es densa, y $G$ no puede cumplir con este conjunto. Por lo tanto no hay ningún filtro genérico en $P$.

A mí me parece que cuando los autores definen un átomo $p$, que debería haber dicho que todos los elementos por debajo de $p$ son compatibles, no es que sean linealmente ordenado. Si $p$ es un átomo en este sentido, el filtro que consiste en el alza de cierre del conjunto de elementos menos de $p$ será genérica, y el argumento anterior muestra que si no hay ningún átomo en este sentido, a continuación, no hay ningún filtro genérico. El contenido real del texto (publicado en la pregunta) no parece ser correcto, porque si $P$ sí es un filtro, a continuación, va a ser un filtro genérico, independientemente de que alguno de los elementos de la poset generar linealmente ordenado ideales.