Cómo demostrar que $Q^\times(\sqrt{3})$ y $Q^\times(\sqrt{7})$ son isomorfas? No puedo ver el isomorfismo explícito entre (para grupos aditivos esto era fácil de demostrar, pero ¿cómo hacer lo mismo para multiplicativo)? Cualquier ayuda es bienvenida.
Respuesta
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Ambos campos tienen número de clase $1$ por lo que los anillos de enteros correspondientes son UFD. Los grupos unitarios de estos anillos de enteros son cíclicos infinitos (se puede construir un generador para el subgrupo de elementos positivos, por ejemplo, utilizando fracciones continuas para resolver la ecuación de Pell) veces $\mathbb{Z}/2$ (correspondientes a los cambios de signo). Se deduce que enumerando los primos en cada uno de los anillos de enteros se obtiene un isomorfismo entre los correspondientes campos cocientes (cada uno de los cuales es un producto de un grupo abeliano libre de base contable por el grupo de orden $2$ ). No se me ocurre ninguna prueba más explícita que ésta.
