¿La función de densidad conjunta no es factorizable significa que no es independiente?

Question

Sé que una función f(x,y) es independiente si se puede descomponer en f(x)f(y), pero ¿es independiente si y sólo si es factorizable? ¿Puede algo ser factorizable si no es independiente y viceversa?

Answer 1

La factorización de probabilidades es la definición de independencia. Así, si tenemos dos sucesos $A,$ $B,$ son independientes si y sólo si $P(A\cap B) = P(A)P(B).$ Se obtiene el mismo resultado para la FCD conjunta $P(X\le x , Y\le y) = P(X\le x)P(Y\le y)$ que entonces se ve equivalente a la factorización de la PDF conjunta (si existe) diferenciando.

Sin embargo, no creas que cualquier tipo de factorización es equivalente a la independencia. Por ejemplo, sólo porque $E(XY) = E(X)E(Y)$ no significa $X$ y $Y$ son independientes (aunque lo contrario está asegurado). Se trata del famoso " no correlacionados no implica independientes " advertencia.