¿Qué es realmente un Principio de Elección?

Question

Esta pregunta es bastante suave, y pido disculpas de antemano si roza el off-topic.

Cuando se trabaja en teorías entre ZF y ZFC, el término "principio de elección" se oye bastante a menudo. Por ejemplo:

$\quad$ El axioma de la elección contable : Toda familia contable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección.

Si es así, podemos decir que un principio de elección es una afirmación sobre la elección. Por otra parte, el axioma anterior es equivalente [1] a la siguiente afirmación:

$\quad$ Cada $\sigma$ -es un espacio compacto de Lindelöf.

Sin embargo, esta afirmación no habla de elegir nada. La primera alternativa es definir un principio de elección como algo equivalente a un enunciado que se refiere a la elección, pero ¿qué ocurre con el principio de ordenación?

$\quad$ Principio de pedido : Todo conjunto puede ordenarse linealmente.

Aunque se suele considerar un principio de elección, el principio de orden no es equivalente directo a ningún principio de elección. Sin embargo, demuestra que toda familia de conjuntos no vacíos y finitos tiene una función de elección.

Quizá podamos definir un principio de elección como algo que prueba algún tipo de declaración de elección. Por desgracia, esto también puede ser problemático, considere las pequeñas violaciones del principio de elección:

$\quad$ VPC : Existe $S$ tal que para cada $x$ existe un ordinal $\alpha$ tal que $x\leq\mathcal P(\alpha)\times S$ .

Es consistente con la existencia de un conjunto amorfo Y un conjunto contable de pares sin función de elección que SVC se mantenga, por lo que ni siquiera implica el axioma de elección para los pares.

Por lo tanto, podemos definir un principio de elección de la siguiente manera:

Sea $\varphi$ sea una sentencia en el lenguaje de la teoría de conjuntos, $\varphi$ es un principio de elección si ZF no prueba $\varphi$ pero ZFC sí.

Esta definición recoge las propiedades deseadas de un principio de elección, es simplemente una afirmación intermedia entre las dos teorías. Sin embargo, en un comentario reciente en math.SE Carl Mummert sugirió que esta definición también es problemática, ya que la afirmación: $$\lnot\rm AC\rightarrow\text{Con}(ZF)$$ No es demostrable desde ZF, pero es vacuamente cierta en ZFC.

Esto nos lleva a la siguiente pregunta:

Pregunta: ¿Cuál sería una buena definición de Principio de elección (en ZF), que encierra la noción de una afirmación "entre" ZF y ZFC, pero sigue evitando afirmaciones vacuas como las anteriores?

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Bibliografía:

1. Brunner, N. -kompakte Räume. (Alemán. Resumen en inglés) [-compact spaces]. Manuscripta Math. 38 (1982), no. 3, 375-379.

Answer 1

He aquí una manera de pensar en el ejemplo de Carl, que parece socavar su interpretación de que es vacuo, y nos permite seguir pensando en él como principio de elección. A saber, la afirmación $\neg\text{AC}\to\text{Con}(\text{ZFC})$ se expresa de forma equivalente como: $$\neg\text{Con}(\text{ZFC})\to\text{AC},$$ que dice que si cierto principio teórico numérico se cumple, entonces tenemos elección plena. Yo lo considero un principio de elección tal vez podríamos llamarlo un condicional porque afirma el pleno poder de la CA, siempre que se cumpla un determinado requisito. Esto parecería ser un principio de elección incluso en el sentido intensional mencionado por Andrej. Afirma que podemos hacer nuestras elecciones, siempre que primero verifiquemos que la afirmación combinatoria $\neg\text{Con}(\text{ZFC})$ se mantiene. Este ejemplo en particular es un principio de elección débil, porque ZF más este axioma, si es consistente, está estrictamente entre ZF y ZFC.

Por supuesto, no tiene nada de especial $\text{Con}(\text{ZFC})$ aquí. Si $\Phi$ es cualquier enunciado demostrable en ZFC, entonces sobre ZF es equivalente a $\neg\text{AC}\to\Phi$ y, por tanto, también a $\neg\Phi\to\text{AC}$ . Tal forma del principio puede verse como una afirmación condicional del axioma de elección, incluso en el sentido intensional, ya que afirma todo el poder de AC, siempre que se cumpla cierto requisito. En este sentido, cualquier afirmación $\Phi$ demostrable en ZFC y no en ZF, incluyendo cualquiera de los principios de elección débiles habituales, puede ser visto de esta manera también como un principio de elección condicional.

Esto parece permitirnos mantener su propuesta de que una declaración $\varphi$ es un principio de elección si es demostrable en ZFC, pero no en ZF.

Answer 2

Cuando hablamos de un "principio de elección" estamos discutiendo el significado de un enunciado, no su valor de verdad, es decir, el enunciado habitual AC obtuvo su nombre por lo que significa y no por su valor de verdad. Sin embargo, la equivalencia lógica sólo conserva los valores de verdad, pero no los significados. Así, los enunciados "todos los unicornios tienen dos cuernos" y "1 + 1 = 2" son ambos verdaderos y, por tanto, equivalentes, pero tienen significados distintos. Del mismo modo, el axioma de elección y el principio de buen orden tienen significados distintos, aunque sean equivalentes. Si te preguntas si AC es equivalente a un principio de buen orden, también deberías preguntarte por muchas otras equivalencias en matemáticas que relacionan enunciados con significados diferentes.

En cuanto a su pregunta "¿qué es realmente un principio de elección?" Yo diría que los principios de elección son un cierto tipo de inversión de los cuantificadores. El axioma de elección puede enunciarse como $$(\forall x \in A . \exists y \in B . \phi(x,y)) \implies \exists f \in B^A . \forall x \in A . \phi(x, f(x))$$ donde $\phi$ es una relación entre los conjuntos $A$ y $B$ . Esta forma del axioma de elección no requiere ninguna teoría de conjuntos, sólo un poco de teoría de tipos simple y lógica de primer orden (si lee esquemáticamente en $\phi$ ).

Ejercicio: Convénzase de que la afirmación anterior equivale a AC. Pista: dada una familia de conjuntos $C_i$ indexado por $i \in I$ deje $A = I$ , $B = \bigcup_{i \in I} C_i$ y $\phi(i, x) \iff x \in C_i$ . A la inversa, dado $A$ , $B$ y $\phi$ , dejemos que $I = A$ y $C_i = \lbrace y \in B \mid \phi(i,y)\rbrace$ .

Un teórico de las categorías podría decir que la elección consiste en dividir los epis. De hecho, dada una familia $C_i$ indexado por $i \in I$ consideremos el mapa $e : \coprod_{i \in I} C_i \to I$ definido por $e (i,x) = i$ . Entonces $(C_i)_{i \in I}$ es una familia de conjuntos no vacíos si, y sólo si, $e$ es suryectiva (epi), y tiene un mapa de elección si, y sólo si, $e$ tiene un inverso derecho (se divide). A la inversa, para dividir un epi $e : A \to B$ es lo mismo que dar una función de elección para la familia de conjuntos $C_i = \lbrace x \in A \mid e(x) = i\rbrace$ indexado por $i \in B$ .

Suplemento: En respuesta a Trevor, he aquí cómo se podría expresar categóricamente la elección dependiente. No sé si existe una formulación más sencilla. Dado $1 \to A$ y $e, p: B \to A$ con $e$ epi, hay $f: \mathbb{N} \to A$ tal que existe una factorización $h: \mathbb{N} \to B$ de la envergadura $f, f \circ \mathrm{succ} : \mathbb{N} \to A$ a través del vano $e, p: B \to A$ . Esto parece más bonito como diagrama conmutativo, ¿cómo dibujo uno de esos? En cualquier caso, no veo ninguna ventaja particular sobre la formulación habitual. Tal vez alguien pueda mejorarla.