Demostrar que la integral impropia es divergente. $\int_0 ^2 x^2 \ln x\,dx$

Question

La tarea es "Evaluar la siguiente integral impropia o demostrar que diverge". $$ \int_0 ^2 x^2 \ln x\,dx $$ Me he dado cuenta de que no podemos evaluarlo desde $0$ a $2$ , por lo que necesito demostrar que es divergente, pero no puedo hacerlo de ninguna manera. Por favor ayudenme.

Answer 1

Para demostrar la divergencia de una integral impropia, hay que demostrar que el límite correspondiente diverge.

Escrita, esta integral impropia se define como $\lim_{a \to 0^+} \int_a^2 x^2 \ln(x)\,dx$ . Evalúe la integral de $a$ a $2$ en función de $a$ y luego para mostrar la divergencia se ve que esta función diverge como $a$ se acerca a 0 por la derecha.

Answer 2

\begin{align} & \int(\ln x)\Big( x^2 \, dx\Big) = \int u\,dv=uv - \int v\,du = \frac{x^3}3\ln x - \int \frac{x^3} 3\cdot\frac 1 x \, dx \\[8pt] = {} & \frac{x^3}3\ln x - \frac 1 3 \int x^2 \, dx \\[8pt] = {} & \frac{x^3}3\ln x - \frac{x^3} 9 + C. \end{align}

En $x\downarrow0$ el límite del primer término puede hallarse mediante la regla de L'Hopital aplicada a $\dfrac{\ln x}{1/x^3}$ y es $0$ .

Answer 3

Pista: $\lim_{x\to0}x^n\ln x=0$ para $n>0$ por lo que no es realmente una integral impropia.

$\displaystyle\int x^2\ln x\,dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^2}{3}\,dx$

Answer 4

Su integral es impropia porque $\log x$ no está definido en $x = 0$ . Para ello, comprobaremos si podemos integrar sobre el intervalo $[\epsilon, 2]$ para todos (pequeño) $\epsilon > 0$ . Es decir, queremos determinar si $$ I = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon ^2 x^2\log x\,dx $$ es finito.

Integración por partes, $$ I = \lim_{\epsilon\to0^+} \frac{1}{3} x^3\log x \Big|_\epsilon^2 - \int_{\epsilon}^2 \frac{x^2}{3}\,dx. $$

Está claro que la última integral es finita por lo que sólo tenemos que comprobar que $$ \lim_{x\to0^+} x^3\log x $$ existe y es finito.