Pregunta sobre el recíproco de un conocido resultado de Álgebra Lineal

Question

Soy un estudiante de posgrado de estudiar para un Álgebra Lineal examen de calificación y yo hemos estado yendo a través de la muestra de los problemas de los anteriores exámenes. El texto recomendado para estos problemas son Hoffman y Kunze "Álgebra Lineal", en el Capítulo tres de Jacobson "Algebra I" y El módulo de sección de teoría de Dummit y Foote. Más probable es que este problema es una variación de un ejercicio a partir de uno de los textos que acabo de mencionar, pero he tenido problemas para colocar.

Creo que el fondo para el problema viene de un recíproco para el siguiente lema en la página 186 de Hoffman y Kunze.

Lema: Vamos a $V$ ser un espacio vectorial sobre el campo $F$ y deje $T$ ser un operador lineal en $V$. Supongamos que $T \alpha = c \alpha$ para algunos vectores $\alpha \in V$ y escalares $c \in F$. Entonces si $f$ es cualquier polinomio, $f(T) \alpha = f(c) \alpha$.

Por último aquí está la pregunta, estoy teniendo problemas con:

Deje $T: \mathbb{C}^5 \rightarrow \mathbb{C}^5$ ser un operador lineal y deje $g(x)$ ser un polinomio en $\mathbb{C}[x]$. Si $c$ es un valor característico de a $g(T)$, debe existir un valor característico de a $a$ $T$ tal que $g(a) = c$? Explique por qué o por qué no

Mi conjetura es que la cuestión no es cierto, pero estoy teniendo problemas con la construcción de un ejemplo. Gracias por cualquier consejo que usted puede dar.

Answer 1

Deje $V$ ser un complejo espacio vectorial, vamos a $T$ ser un operador de referencia en $V$ y deje $p\in \mathbb{C}[x]$. Los siguientes pasos conducen a una solución:

Ejercicio 1: Demostrar que el resultado se mantiene si $p$ es un polinomio constante.

(1) (podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que el $p$ no es constante por el Ejercicio 1.) Deje $\lambda$ ser un autovalor de a $p(T)$. Tenga en cuenta que $p(T)-\lambda I$ no es inyectiva y podemos factorizar el polinomio $p(z)-\lambda = c(z-c_1)\cdots (z-c_k)$ para algún entero positivo $k$ y escalares $c,c_1,\cdots,c_k\in\mathbb{C}$.

Ejercicio 2: Demostrar que $T-c_iI$ no es inyectiva para algunos $1\leq i\leq k$. Deducir que $c_i$ es un autovalor de a $T$.

Ejercicio 3: Demostrar que $p(c_i)=\lambda$.

Ahora debería ser capaz de resolver su pregunta. Permítanme darles otro par de Ejercicios:

Ejercicio 4: Demostrar que existe un operador $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ con polinomio característico $p(x)=x^2-1$. Es este operador único? Si $T$ es cualquier operador, demostrar que no es un autovalor de a $p(T)$ que no es de la forma $p(\lambda)$ por un eigevalue $\lambda$$T$. Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es negativa en el contexto real de espacios vectoriales.

Ejercicio 5: Deje $V$ ser un extraño dimensiones reales de espacio vectorial, vamos a $T$ ser un operador de referencia en $V$ y deje $p\in\mathbb{R}[x]$. Si $\lambda$ es un autovalor de a $p(T)$, es verdad que hay un autovalor $a$ $T$ tal que $p(a)=\lambda$? Demostrar o dar un contraejemplo.

Espero que esto ayude!