Ecuaciones para el polinomio HOMFLY de $(2,2k+1)$ ¿Nudos toroidales?

Question

Ecuaciones para el polinomio HOMFLY de $(2,2k+1)$ ¿Nudos toroidales?

Te agradecería una referencia... He estado buscando pero no encuentro nada. $(2,2k+1)$ Los nudos toroidales son una clase de notas muy bien entendida, así que estoy seguro de que esta fórmula está por ahí. Muchas gracias.

Answer 1

Puedes calcularlo estudiando el polinomio HOMFLY para enredos. Primero, para establecer una convención, voy a usar el polinomio HOMFLY con esta relación de madeja:

Un hecho sobre la relación de madeja es que cada maraña puede reducirse a una combinación lineal $L_0$ y $L_+$ . Para ello, estudiemos el operador de suma-derecha-giro:

Con respecto a la $\{L_0,L_+\}$ entonces, la matriz de $T$ es $$[T] = a^{-1}\begin{bmatrix} 0 & a^{-1} \\ a & z \end{bmatrix}.$$ Esto nos permite ver lo que retorcer algo $k$ veces lo haría calculando $[T]^k$ .

Otro ingrediente es cerrar un enredo:

Dado que un giro a la derecha $L_+$ está representado por el vector $(0,1)$ tenemos que el polinomio HOMFLY de a $T(2,2k+1)$ nudo toroidal es $$P(T(2,2k+1)) = \begin{bmatrix} \frac{a-a^{-1}}{z} & 1 \end{bmatrix} [T]^{2k} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Esta matriz $[T]$ es diagonalizable, por lo que se puede calcular esta matriz potencia como $$P(T(2,2k+1)) = a^{-2k} \begin{bmatrix} \frac{a-a^{-1}}{z} & 1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} \frac{z-\sqrt{4+z^2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{z+\sqrt{4+z^2}}{2} \end{bmatrix}^{2k} A^{-1}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ con $$A=\begin{bmatrix} -\frac{z+\sqrt{4+z^2}}{2a} & -\frac{z-\sqrt{4+z^2}}{2a} \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$ Ten en cuenta que no importa qué corte de rama tomes para calcular las raíces cuadradas; lo único que importa es que las raíces cuadradas sean negativas entre sí. Probablemente sea mejor interpretarlas de forma puramente simbólica (es decir, utilizar sólo el hecho de que el cuadrado de $\sqrt{4+z^2}$ es $4+z^2$ ).

Tras algunas simplificaciones, podemos obtener $$P(T(2,2k+1)) = \frac{(2-a^2(2+z x))x^{2k} + (-2+a^2(2+z y))y^{2k}}{4^ka^{2k+2}z(y-x)}$$ donde \begin{align*} x&=z-\sqrt{4+z^2} & y&=z+\sqrt{4+z^2}. \end{align*} He comprobado que esta expresión coincide con una tabla de polinomios HOMFLY para $1\leq k\leq 8$ .

No me extrañaría que alguien ya lo hubiera calculado así, pero desgraciadamente no conozco ninguna referencia, aparte de cosas como Atlas de nudos y KnotInfo que contienen polinomios HOMFLY para nudos individuales.

Edita: Tras simplificarlo mucho más, lo conseguí de esta forma: $$P(T(2,2k+1)) = a^{-2k-1} \sum_{n=0}^k \left( a\binom{k+n+1}{2n+1} - a^{-1}\binom{k+n}{2n+1} \right) z^{2n}$$

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Edita: He encontrado algunas referencias potenciales.

Duzhin y Shkolnikov explican cómo calcular polinomios HOMFLY para nudos de 2 puentes (cierres de enredos racionales). El corolario 1 de la sección 4 pretende dar una fórmula para $T(2,n)$ enlaces torus, pero no parece coincidir con las tablas: http://www.pdmi.ras.ru/~duzhin/papers/rat_knots_e3.pdf

Labastida y Marino utilizan la teoría gauge de Chern-Simons para obtener una fórmula para todos los enlaces toroidales. Véase el teorema 3.1: https://cds.cern.ch/record/259127/files/9402093.pdf