Si $f$ es una función de Riemann integrable en $[a,b]$ f $\int\limits_a^b f(x) dx = 0$ y $m \leq f(x) \leq M$ para todos $a \leq x \leq b$ demuestre que $$\int\limits_a^b f(x)^2 dx \leq - m M (b-a).$$
Mi única idea de cómo utilizar $\int\limits_a^b f(x) dx = 0$ es $$\int\limits_a^b f(x)^2 dx = \int\limits_a^b f(x)(f(x)+A) dx,$$ con alguna constante $A$ . E intenta usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$\int\limits_a^b f(x)(f(x)+A) dx \leq \sqrt{\int\limits_a^b f(x)^2 dx} \sqrt{\int\limits_a^b (f(x)+A)^2 dx},$$ que podría conducir a $$\int\limits_a^b f(x)^2 dx \leq \max\{-m, M\} (M-m) (b-a)$$ con las $A$ . Pero esta desigualdad es mucho más débil que la que necesito.
Agradecería cualquier consejo relacionado con este problema. Gracias.
Resuelto
Si alguien está interesado, aquí está la solución: $$m \leq f(x) \leq M => (f(x) - m)(M - f(x)) \geq 0,$$ $$\int\limits_a^b (f(x) - m)(M - f(x))dx \geq 0,$$ $$\int\limits_a^b \left(- f^2(x) + (M + m)f(x) - m M \right)dx \geq 0,$$ $$\int\limits_a^b f^2(x)dx \leq - m M (b-a)$$
