El escenario es que los colectores son colectores de Banach, no necesariamente de dimensión finita. No se hace ninguna otra suposición sobre la topología del colector. En particular, no se supone que sea regular o normal. Por supuesto, esto significa que no se supone que la variedad sea paracompacta. Tampoco se supone que el colector admita particiones de la unidad. En este contexto, tanto Lang (Fundamentals of Differential Geometry, 1999, Springer-Verlag) como Abraham, Marsden y Ratiu (Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, 1988, Springer-Verlag) demuestran que una variedad Hausdorff conexa con una métrica riemanniana es un espacio métrico. Me parece que ambas pruebas adolecen del mismo defecto. Las pruebas son lo bastante parecidas como para que me limite a referirme a la de Lang. Empezamos con una variedad Hausdorff conexa $X$ y una métrica riemanniana, $g$ en $X$ . No se hace ninguna suposición especial sobre el espacio de Hilbert, $E$ sobre el que se modela el colector. Por ejemplo, $E$ pueden o no ser separables. Empieza por definir una función de longitud, $L_g$ que asigna un número real $L_g(\gamma)$ a cada $C^1$ camino, $\gamma$ de $J=[a,b]$ en $X$ en función de la métrica, $g$ . La función de distancia, $d_g:X\times X\to\mathbb{R}$ se define entonces por $d_g(x,y)=\inf\{L_g(\gamma)\}$ sobre todos los $C^1$ caminos, $\gamma$ definido en $J$ con $\gamma(a)=x$ y $\gamma(b)=y$ .
Sin ninguna dificultad, $d_g$ es una pseudométrica. El primer punto principal de la prueba es demostrar que $d_g$ es en realidad una métrica. Así que empezamos con puntos distintos $x$ y $y$ de $X$ y se propuso demostrar $d_g(x,y) > 0$ . Tenemos un gráfico $(U, \phi)$ en $x$ para $X$ con $\phi(U)$ abrir en $E$ y podemos organizar $U$ sea lo suficientemente pequeño como para que $y$ no está en $U$ , ya que se supone que la variedad es Hausdorff. Trabajando en $\phi(U)$ encontramos un $r>0$ tal que la bola cerrada $D(\phi(x),r)$ se encuentra en $\phi(U)$ y tal que se cumplan otras propiedades. Sea $S(\phi(x),r)$ sea el límite de $D(\phi(x),r)$ . Entonces definimos $D(x,r)=\phi^{-1}(D(\phi(x),r))$ et $S(x,r)=\phi^{-1}(S(x,r))$ ambos subconjuntos de $U$ .
Desde $\phi$ es un homeomorfismo, $D(x,r)$ y $S(x,r)$ se cierran en $U$ (no necesariamente cerrado en $X$ ). Para mí, éste es un escollo clave, como explicaré a continuación. explicaré. A continuación dejamos que $\gamma:J \to X$ sea cualquier $C^1$ camino en $X$ de $x$ a $y$ . Ambas pruebas parten de la siguiente hipótesis: puesto que $x$ está en $D(x,r)$ y puesto que $y$ no está en $U$ el camino $\gamma$ debe cruzar $S(x,r)$ . Ninguno de los autores demuestra explícitamente esta suposición (y AMR ni siquiera lo afirma).
Cuando me propuse demostrar esto, utilizando la continuidad de $\gamma$ y el conectividad de $J$ rápidamente me encuentro con la necesidad de demostrar que $D(x,r)$ está cerrado en $X$ no sólo en $U$ . Si $X$ se supiera que es regular, sería no sería un problema tomar $r$ lo suficientemente pequeño como para que $D(x,r)$ se cerró en $X$ . Pero como he mencionado al principio, no sé que $X$ es regular. Si pudiera demostrar que la topología pseudométrica para $X$ inducida por $d_g$ era la misma que la topología original del colector, también conseguiría que $X$ era regular. Pero no veo cómo hacerlo sin completar primero la primera parte de la prueba.
Toda la cuestión parece ser, ¿puedo hacer $r$ lo suficientemente pequeño como para que $D(x,r)$ permanece lejos de la topológica (en la topología original del múltiple de $X$ ) límite de $U$ ? Pero esto no parece ser una cuestión local, ya que depende de lo que se cerrado en $X$ que, a su vez, depende de lo que esté abierto en todas partes en $X$ incluyendo fuera de $U$ .
Entonces, la pregunta es: ¿son necesarias otras suposiciones o es posible arreglar la prueba para que no sea necesario hacer otras suposiciones?
