Álgebra Lie de grupo Lie nilpotente

Question

Sea $G$ sea un subgrupo cerrado nilpotente del grupo $UT(n,\mathbb{R})$ de matrices triangulares superiores con $1$ -s en la diagonal.

Puedo construir un álgebra de Lie a partir de $G$ de dos maneras:

1. El álgebra de Lie habitual de un grupo de Lie matricial formado por matrices $A\in M_n(\mathbb{R})$ para lo cual $\exp(tA) \in G$ .

2. Puedo tomar la serie central inferior de $G$ se toma una suma directa de los factores y se definen los corchetes de Lie de forma natural (respetando la graduación).

¿Son isomorfas las dos álgebras de Lie? Si es así, ¿canónicamente? (Soy nuevo en este asunto)

Answer 1

No. Si el álgebra de Lie (es decir, la primera construcción) se denota $\mathfrak{g}$ entonces la segunda será isomorfa al álgebra de Lie graduada de Carnot asociada $\mathrm{Car}(\mathfrak{g})$ .

Dado que existen álgebras de Lie reales nilpotentes de dimensión finita (de dimensión $\ge 5$ ) $\mathfrak{g}$ que no son isomorfas a su álgebra de Lie graduada de Carnot asociada, y puesto que cualquier álgebra de Lie real nilpotente de dimensión finita es isomorfa a una subálgebra de $\mathfrak{ut}(n,\mathbf{R})$ para algunos $n$ obtendrá una respuesta negativa a su pregunta (al menos para $n$ lo suficientemente grande, probablemente para todos $n\ge 4$ en realidad).