Es $\mathbb{Z}= \{\dots -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 , 3, \dots \}$ contables?

Question

Pregunta:

Es $\mathbb{Z}= \{\dots, -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 , 3, \dots \}$ contables?

Mi prestar atención hasta el momento:

Vamos a crear la siguiente correspondencia uno a uno entre el$\mathbb{Z}$$\mathbb{N}$. $$\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \dots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \dots\\0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & \dots\end{matrix}$$

En orden para $\mathbb{Z}$ a ser contables, debemos definir una función de $f:\mathbb{N} \to \mathbb{Z}$, de modo que $\mathbb{Z} \sim \mathbb{N}$.

$$\displaystyle f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & n \text{ is even} \\ -\frac{n-1}{2} & n\text{ is odd} \end{cases}$$

Para mostrar que $\mathbb{Z} \sim \mathbb{N}$ requerimos $f$ a ser bijective.

De la imagen de arriba, podemos ver claramente que $f$ es surjective desde $\forall z \in \mathbb{Z}\ \exists n \in \mathbb{N}$ tal que $f(n) = z$. Por lo tanto debemos mostrar ahora que $f$ es inyectiva.

Debemos considerar tres casos:

1. $n_1, n_2$ son impares
2. $n_1, n_2$ son incluso
3. $n_1$ es impar y $n_2$ es incluso

Caso 1: \begin{align}f(n_1) &= f(n_2) \\ \implies -\frac{n_1 -1}{2} &= -\frac{n_2 -1}{2} \\ \implies n_1 -1 & = n_2 -1 \\ \implies n_1 &= n_2\end{align}

Caso 2: \begin{align}f(n_1) &= f(n_2) \\ \implies \frac{n_1}{2} &= \frac{n_2}{2} \\ \implies n_1 &= n_2\end{align}

Sin embargo, estoy experimentando alguna dificultad para mostrar la inyectiva propiedad de la $3^{rd}$ de los casos. Puede alguien por favor me dan un poco de ayuda con este caso?

Answer 1

El tercer caso es bastante fácil de ver intuitivamente, teniendo en cuenta que incluso los números de mapa para números positivos y números impares mapa para no positivas. Sin embargo, si se desea resolver, sólo suponga que, para $n_1$ e impares $n_2$: $$\frac{n_1}2=-\frac{n_2-1}2$$ podemos resolver esto $$n_1=-n_2-1$$ $$n_1+n_2=1$$ Sin embargo, no puede haber ningún par de un uniforme y un número natural impar sumar a $1$, por lo tanto si $n_1$ $n_2$ tienen distinta paridad, no puede ser que $f(n_1)=f(n_2)$.

Por cierto, tu prueba obtiene el punto correcto, pero no es escrito correctamente; usted debe escribir, por ejemplo, que $$\begin{align}f(n_1) &= f(n_2) \\ \implies -\frac{n_1 -1}{2} &=-\frac{n_2 -1}{2} \\ \implies n_1 -1 & = n_2 -1 \\ \implies n_1 &= n_2\end{align}$$ donde la igualdad se utiliza en lugar de la desigualdad; $f(n_1)\neq f(n_2)$ implica $n_1\neq n_2$ para todas las funciones - la inversa de la declaración es lo que define a la inyectividad. (También parece que tienes una errata en la definición de la $f$ y conmutación de pares e impares de los casos)

Answer 2

No hay necesidad de comprobar el tercer caso, la causa puede ver que cuando la $n$ es impar entonces la función es negativa y que, cuando incluso es positivo para que los lados nunca puede ser igual en la 3ª case.By esto quiero decir $f(n_1)\leq 0,f(n_2)>0$