Demuestra que $\sqrt{|x| + |y|}$ es diferenciable en puntos distintos de cero

Question

Sé que hay una prueba aquí demostrando que dicha función $f(x,y) = \sqrt{|x|+|y|}$ no es diferenciable en $x \neq 0$ o $y \neq 0$ pero ¿cómo puedo demostrar que $f(x,y)$ es diferenciable en puntos tales que $x \neq 0$ y $y \neq 0$ ?

Puedo utilizar la regla de la cadena para tomar los parciales, pero ¿cómo sé que esta derivada existe en un punto que no tiene cero en sus coordenadas? En concreto, la regla de la cadena da el primer parcial como $\frac{1}{2\sqrt{|x|+|y|}} $ . Entonces, ¿cómo puedo demostrar que

$$\lim_{t\to0} \frac{1}{t}\left[f(x + te_j,y) - f(x,y) - \frac{1}{2\sqrt{|x|+|y|}} \right] = 0$$ cuando $x \neq 0$ y $y \neq 0$ ?

Answer 1

El conjunto en el plano x,y de puntos con x $\neq$ 0 e y $\neq$ 0 es la unión de 4 cuadrantes ;a saber x>0 e y>0 ;x>0 e y<0 ;x<0 e y>0 ; x<0 e y<0 . En cada cuadrante la función z=g(x,y)= |x|+|y| tiene valor positivo y es continuamente diferenciable . La función h(z)= $\sqrt{z}$ es continuamente diferenciable en los reales positivos . Por tanto, la composición f(x,y)= h(g(x,y)) es continuamente diferenciable. Por continuamente diferenciable entiendo que sus derivadas parciales son continuas. De un teorema de cálculo avanzado se deduce que f es diferenciable. De hecho, se puede utilizar un argumento de inducción para demostrar que f es infinitamente diferenciable.