comprensión de la fórmula de la ecuación diferencial lineal no homogénea

Question

Para la ecuación $y'=a(x)y+b(x)$ podemos expresar la función y como $$y=C(x)\exp{ \int_{x_0}^x}{a(s)ds}$$ Lo que significa que si encontramos la función $C(x)$ tendremos una solución.

Ahora, mis notas de clase dicen dos cosas que no entiendo.

En primer lugar, que encontrar dicha función $C(x)$ es en realidad la sustitución de variables, y en segundo lugar, que la fórmula final para $y$ es: $$ y=e^{\int{a(x)dx}}(C+\int{e^{-\int{a(x)dx}}b(x)dx}) $$

¿Qué significa encontrar $C(x)$ es la sustitución de variables y cómo es la fórmula final de $y$ ¿derivado?

Gracias de antemano.

Answer 1

Este método se conoce como variación de constantes, ahora que para $y'=a(x)y$ la solución general es $y(x)=\exp\int_{x_0}^x a(\eta)d\eta$ . Ahora, tenemos la ecuación $y'(x)=a(x)y+b(x)$ por lo que suponemos que podemos escribir la solución como $y(x)=c(x)z(x)$ . Entonces $y'(x)=c'(x)z(x)+c(x)z'(x)=a(x)y+b$ con $z(x)=\exp\int_{x_0}^xa(\eta)d\eta$ .

Así que $z'(x)=z(x)a(x)$ y tenemos que $c'(x)(z(x)+c(x)z(x)a(x)=a(x)y+b=a(x)c(x)z(x)+b$ a partir de la cual obtenemos la ecuación diferencial de $c$ : $$ c'(x)z(x)=b(x)$ $$ so $$ c(x)=\int\frac{b(\xi)}{z(\xi)}d\xi=\int b(\xi)\exp(-\int a(\eta)d\eta) $$ and $$ y(x)=c(x)z(x)=y_0+\exp\int_{x_0}^x a(\eta)d\eta\bigg(\int_{x_0}^x\frac{b(\xi)}{\exp\int_{x_0}^{\xi}a(\eta)d\eta}d\xi\bigg)$$

Answer 2

Si diferencia la fucnión $y(x) =C(x) \exp\left(\int_{x_0 }^x a(x) dx \right)$ entonces se obtiene $$y'(x) =C'(x) \exp\left(\int_{x_0 }^x a(x) dx \right) +C(x) \exp\left(\int_{x_0 }^x a(x) dx \right) a(x)$$ Por lo tanto, se obtiene $$C'(x) \exp\left(\int_{x_0 }^x a(x) dx \right) +C(x) \exp\left(\int_{x_0 }^x a(x) dx \right) a(x)=C(x) \exp\left(\int_{x_0 }^x a(x) dx \right) a(x)+b(x)$$ Por lo tanto $$C'(x) =b(x)\exp\left(-\int_{x_0 }^x a(x) dx \right)$$ Así $$C(x) =\int b(x)\exp\left(-\int_{x_0 }^x a(x) dx \right)dx$$