Límites de las autocorrelaciones de un proceso AR(2)

Question

Necesito probar

Quiero obtener algunas pistas sobre el mismo, sé que la condición de estacionario, y lo que el modelo debe ser similar, pero yo dont 't sabe cómo mostrarlo. He tratado de tomar la diferencia entre los dos y tratar de demostrar que esto es menor que cero. Pero soy incapaz de encontrar algo para limitarlo.

Answer 1

OK, siguiente pista - demasiado larga para un comentario:

Tenemos \begin{eqnarray*} 0\leq Var(\alpha_0Y_t+\alpha_1Y_{t-1}+\alpha_2Y_{t-2})&=&Var\left(\begin{pmatrix} \alpha_0&\alpha_1&\alpha_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} Y \end{pmatrix}\right)\t &=& \begin{pmatrix} \alpha_0&\alpha_1&\alpha_2 \end{pmatrix}Var\begin{pmatrix} Y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_0\\\alpha_1\\\alpha_2 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} \alpha_0&\alpha_1&\alpha_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma_0&\gamma_1&\gamma_2\\ \gamma_1&\gamma_0&\gamma_1\\ \gamma_2&\gamma_1&\gamma_0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha_0\\\alpha_1\\\alph \Fin. &=&\\gamma_0 \begin{pmatrix} \alpha_0&\alpha_1&\alpha_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&\rho_1&\rho_2\\ \rho_1&1&\rho_1\\ \rho_2&\rho_1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \ \fin{pmatrix} \Fin.

Aquí, el $\alpha_j$ son constantes arbitrarias, el $\gamma_j$ son (autoco)varianzas y la $\rho_j$ autocorrelaciones.

Ahora, utiliza las condiciones para la semidefinición positiva de una matriz.