Desigualdad triangular para $L^1$ -norma con respecto a un estado

Question

Es bien sabido que la construcción ingenua de la no conmutativa $L^p$ -espacios se realiza sólo en caso tracial. Me gustaría saber si es realmente necesario.

A saber $\varphi$ sea un estado normal en un álgebra de von Neumann $M$ . Supongamos que la desigualdad del triángulo para el $L^1$ -inducida por $\varphi$ se mantiene, es decir $$ \varphi(|x+y|)\leqslant \varphi(|x|) + \varphi(|y|), $$ donde $x,y \in M$ y $|x|:= \sqrt{x^{\ast}x}$ . ¿Es cierto que $\varphi$ es una traza ( $\varphi(x^{\ast}x)=\varphi(xx^{\ast})$ )? ¿Y si $\varphi$ ¿es sólo un peso normal?

Answer 1

Si $\varphi$ no es una traza, M contiene una subálgebra de von Neumann isomorfa a $M_2(\mathbf C)$ en la que la restricción de $\varphi$ no es un rastro. En efecto, si $x \in M$ es tal que $\varphi(x^*x) \neq \varphi(xx^*)$ por la hipótesis de normalidad de $\varphi$ podemos suponer que $|x|$ tiene un espectro finito, y por linealidad que $x$ es una isometría parcial. Sustituyendo las proyecciones $p=x^*x$ y $q=xx^*$ por (las proyecciones aún equivalentes) $p-p\hat{}q$ y $q-p\hat{}q$ podemos suponer que $p$ y $q$ son proyecciones ortogonales. Esto implica que el álgebra de von Neumann generada por $x$ es isomorfo a $M_2(\mathbf C)$ .

Esto reduce el problema a $M_2(\mathbf C)$ . En este caso supongo que debería aplicarse una variante de la respuesta de zanin.

Answer 2

La respuesta es definitivamente negativa. De hecho, falla incluso para el álgebra de $2\times 2$ matrices. En efecto, tomemos x e y tales que la desigualdad del operador $|x+y|\leq |x|+|y|$ falla. Tomemos p como la proyección sobre la parte negativa de $|x|+|y|-|x+y|.$ definir el estado fijando $\varphi(z)={\rm Tr}(pz).$ Tenemos $\varphi(|x+y|)>\varphi(|x|)+\varphi(|y|).$