El mayor número de sistema

Question

Si mi número de conjunto de la construcción de la memoria no me falla (voy a editar si los errores se señaló), comenzamos con los axiomas de Peano para llegar a $\mathbb{N}$, y en la necesidad de un inverso aditivo de sus elementos, la construcción de la $\mathbb{Z}$. A continuación, con el fin de ser capaz de invertir distinto de cero enteros con respecto a multipilication, $\mathbb{Q}$ es creado. Para no ser inexacta entero raíces racionales, el campo de $\mathbb{R}$ está construido, y de modo que cada número real tiene enteros raíces, $\mathbb{C}$ es concebido. Estas preguntas surgen:

1. ¿Qué tipo de operación y el número - se hace posible mediante la construcción de cuaterniones y octonions?

2. La jerarquía de las cardinalidades de los conjuntos es $\#\mathbb{N} = \#\mathbb{Z} = \#\mathbb{Q} < \#\mathbb{R} = \#\mathbb{C}$. ¿Cómo se $\#\mathbb{H}$ $\#\mathbb{O}$ inserta en ella?

3. Puede sin embargo, otro conjunto de números construirse a partir de $\mathbb{O}$?

4. ¿El dijo jerarquía de parar en algún conjunto de números, es decir, hay un mayor número de set?

Answer 1

Creo que puedo responder a las preguntas 2, 3, y 4.

Para el 2, ya que $\mathbb{H}$$\mathbb{O}$, respectivamente, tienen el mismo cardinalidades como $\mathbb{R}^4$$\mathbb{R}^8$, tienen la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$. (tomando de los productos cruzados de los conjuntos infinitos con ellos mismos, no cambia su cardinalidad).

Para el 3 y 4 de Hurwitz del teorema nos dice que la única normativa de la división de álgebras sobre los reales, hasta el isomorfismo, son los cuatro que usted menciona.

Edit : No tanto una respuesta como la de los demás, pero para 1, sé que una de las motivaciones para cuaterniones es que, puesto que los números complejos realizar el estudio de las rotaciones en el plano de tal manera fácil, queremos construir una expresión algebraica marco para el estudio de las rotaciones en las dimensiones superiores (3 y 4).

Answer 2

Voy a dar un punto que estaba mal en tanto las respuestas y algo se conecta a esta pregunta para el conjunto teórico de las etiquetas que tiene.

No puede ser un número más grande del sistema, en el sentido de que ordenó campos (que se incorpora $\mathbb R$ pero no $\mathbb C$) y que es La Surrealista Números.

Es un campo de clase, lo que significa que no es un juego y tiene no cardinalidad. Como una orden que integra todos los ordinales y todos los pedidos de campo.

Tengo que admitir que estoy muy lejos de tener una verdadera idea acerca de este sistema de número, en lugar de eso voy a vincular a dos MO preguntas que podría ser algo útil:

• ¿Dónde surrealista números vienen y qué significan?
• Qué está mal con la surreals?

Answer 3

Vhailor la respuesta que se ocupa de la mayoría de sus preguntas. Voy a tratar de ayudar con el resto.

No estoy seguro de lo que significa para un concepto matemático que tener un propósito, pero yo diría que el propósito de $\mathbb{H}$ $\mathbb{O}$ es que, junto con el $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$ sí, son los únicos finito dimensionales normativa de la división de álgebras de más de $\mathbb{R}$. Es cierto, los cuaterniones tiene un buen número de aplicaciones para el modelado de rotación y todo eso, pero (OMI) estamos interesados en la normativa de la división de álgebras de más de $\mathbb{R}$, el hecho de que tenemos esta clasificación (Hurwitz del teorema) de lo finito dimensional es razón suficiente para distinguirlos y estudio de los mismos. Hamilton estaba tratando de construir una 3-dimensional de la normativa de la división de álgebra $\mathbb{R}$, hasta que se dio cuenta de que no se podía hacer, y me di cuenta (en el ahora famoso puente) que tuvo que pasar hasta 4.

Tenemos $\dim_\mathbb{R}(\mathbb{R})=1$, $\dim_\mathbb{R}(\mathbb{C})=2$, $\dim_\mathbb{R}(\mathbb{H})=4$, y $\dim_\mathbb{R}(\mathbb{O})=8$. Técnicamente también hay la sedenions $\mathbb{S}$, que son de 16-dimensional sobre $\mathbb{R}$. No forman una finito-dimensional de la normativa de la división de álgebra $\mathbb{R}$, que es la razón por la que no aparecen en la clasificación dada por Hurwitz del teorema.

No existe un "mayor número". Principalmente porque lo que significa que para que algo sea "un número" no es un riguroso (o particularmente útil) noción matemática.