¿Por qué son triviales los invariantes de Gromov-Witten de las superficies K3?

Question

¿Por qué los invariantes GW de las superficies K3 son triviales? Mi conjetura ingenua es que los invariantes GW son invariantes de deformación y siempre se puede deformar su superficie K3 a uno no proyectiva, que no tiene subcomplex manifold excepto puntos. Entonces los invariantes GW (o invariantes GV) cuentan ingenuamente el número de curvas, por lo que deben ser triviales.

¿Existen pruebas más rigurosas de este hecho? ¿O podemos hacer riguroso el argumento anterior? Dado que los invariantes de GW son invariantes simplécticos, me pregunto si también existe una prueba en geometría simpléctica.

Otra pregunta es, ¿son también triviales los invariantes DT de las superficies K3?

Answer 1

He aquí dos respuestas a su primera pregunta:

1. Sí, tu argumento funciona. Para ver que no hay curvas para un K3 genérico observe que sus clases de homología deben ser Poincare dual a una integral (1,1)-clase y no hay ninguno de estos para un K3 genérico.

2. Otro argumento es el siguiente: K3 es hiperKaehler por lo que admite una esfera de estructuras simplécticas/estructuras complejas compatibles. En particular, moviéndose en esta esfera se puede pasar de $(\omega,J)$ à $(-\omega,J')$ . Si hay un invariante GW no evanescente entonces hay una clase de curva $A\in H_2(K3;\mathbf{Z})$ con $\omega$ -área representada por un $J$ -que persiste bajo la deformación y también está representada por una curva $J'$ -curva holomórfica. Por lo tanto tiene que tener $-\omega$ -también, ¡lo cual es una contradicción!

No sé cuál es tu pregunta sobre el DT.

Edita: Tu preocupación de que los invariantes GW no cuentan curvas no es un problema en este caso porque no hay curvas que contar. Me explico. Los invariantes de GW cuentan curvas estables (ponderadas por signos procedentes de orientaciones o factores procedentes de grupos de automorfismos) cuando todas esas curvas satisfacen alguna condición de transversalidad.

• Cuando falla la transversalidad puede haber más curvas de las que debería haber y el invariante GW está contando otra cosa (por ejemplo, soluciones de una ecuación de Cauchy-Riemann perturbada). Ciertamente, cuando no hay curvas, ¡todas las curvas satisfacen la transversalidad!

• El único problema es que a veces existen curvas estables y no curvas suaves. Por ejemplo, no hay curvas suaves de género 1 en $S^2$ pero existen curvas estables de género 1 que conducen a un invariante GW distinto de cero. Consideremos que el dominio es la unión de un toroide y una esfera, uniéndolos en un único punto nodal. Mapear el toro a un único punto $p$ y mapear la esfera holomórficamente a $S^2$ llevando el nodo a $p$ . Es una curva estable que hay que contar. En el caso de que no haya curvas holomorfas no constantes en absoluto, esto, de nuevo, no es un problema.

Answer 2

Si bien es cierto que las invariantes ordinarias de GW de una superficie K3 son triviales (por el argumento de la deformación que citas), los reducido Los invariantes de GW no son triviales y capturan mucha información enumerativa y estructura interesantes. Los invariantes reducidos se obtienen modificando la teoría de obstrucción en el espacio de mapas estables y dan lugar a invariantes de recuento de curvas que son invariantes bajo deformaciones de la superficie K3 que preservan el tipo (1,1) de la polarización. Las funciones generadoras de estos invariantes de GW pueden expresarse en términos de formas cuasimodulares. http://www.ams.org/journals/jams/2000-13-02/S0894-0347-00-00326-X/S0894-0347-00-00326-X.pdf

Las invariantes de Donaldson-Thomas sólo están definidas para tres veces . Para definirlos para una superficie, hay que crear una "superficie local", el tríptico dado por el espacio total del haz canónico sobre la superficie. Esto introduce una cierta falta de compacidad que puede tratarse de varias formas (a veces equivalentes) (por ejemplo, se puede trabajar de forma equivariante y utilizar la localización, o se pueden utilizar las características de Euler ponderadas por la función de Behrend en lugar de las clases virtuales). Después de tratar estas cuestiones, se comprueba que las invariantes DT de K3 son efectivamente no triviales y están relacionadas con las invariantes GW reducidas por una relación de tipo MNOP.

Se trata de un tema extenso con mucho trabajo. Comenzó con la fórmula de Yau-Zaslow y la conjetura de Gottsche en 1995. Leung y yo definimos los invariantes reducidos de GW de K3 en nuestro artículo de 2000. Recientemente, ha habido un resurgimiento del trabajo sobre los invariantes de K3 por Pandharipande, Maulik, Thomas, y otros, por ejemplo:

http://arxiv.org/abs/1001.2719

http://arxiv.org/abs/0808.0253

http://arxiv.org/abs/0807.2477

Answer 3

La respuesta más directa a la pregunta original la ofrece el artículo DMJ de Junho Lee. Una forma (2,0) en una superficie de Kahler X determina una estructura casi compleja J en X de modo que todas las curvas J-holomorfas se encuentran en el conjunto cero de la forma (2,0). Dado que un K3 admite una forma (2,0) no nula, no hay curvas J-holomorfas en K3 para la correspondiente estructura casi compleja J.