Si α es una unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ entonces $a^2 - 2b^2 = \pm1$

Question

$$\mathbb{Z}[\sqrt2] = \{a + b2: a,b \in \mathbb{Z}\}$$

La pregunta pide demostrar que si $\alpha$ es una unidad en este conjunto, entonces: $$a^2 - 2b^2 = \pm1$$ Ya he llegado a un callejón sin salida:

Quería utilizar el hecho de que debe existir otro elemento en $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ tal que $\alpha\beta = 1$ .

Ahora estoy perdido, ya que acabo de demostrar accidentalmente que la diferencia de $a^2$ y $2b^2$ debe ser igual a $1$ no es que ambos sean iguales a $1$ . ¿Estoy haciendo las cosas mal?

Answer 1

Desde $(1+\sqrt{2})(-1+\sqrt{2})=1$ vemos que $\pm (1+\sqrt{2})^n$ es una unidad para todos $n\in \mathbb{Z}$ . Utilizando la norma es fácil ver que cada unidad en $\mathbb{Z} [\sqrt{2}]^{\times}$ es de esta forma. De hecho $\alpha=a+b\sqrt{2}$ es una unidad si $N(\alpha)=a^2-2b^2=\pm 1$ .