Demostrar que $G,O,D$ son colineales.

Question

Sea $ABCD$ sea un cuadrilátero convexo con $\angle DAB=\angle ABC=\angle BCD$ . Sea $G$ y $O$ sean el centroide y el circuncentro de $\triangle ABC$ respectivamente. Demostrar que $G,O,D$ son colineales.

Intento: Deja pasar la línea $A\|BC$ intersect $DC$ en $E$ y la línea a través de $C\|AB$ intersect $AD$ en $F$ . Ahora, después de algunos ángulos triviales, obtenemos $B,A,E,F,C$ son cíclicos.

Answer 1

Basándome en tus anotaciones y en lo que tienes: $$B,A,E,F,C~{\rm are~concyclic~on~the~circumcircle~}(ABC)~{\rm with~center~}O,$$ $$AB\parallel FC~{\rm and~}AE\parallel BC.$$ Sea $H$ sea el ortocentro del triángulo $ABC$ . Sea $C'$ sea la intersección alternativa de $CH$ con $(ABC)$ . Sea $A'$ sea la intersección alternativa de $AH$ con $(ABC)$ . Entonces $AA'$ (resp. $CC'$ ) siendo ortogonales transversales de rectas paralelas $AE$ y $BC$ (resp. $AB$ y $FC$ ), se tiene $$\angle A'AE=90^\circ~({\rm resp.}~\angle C'CF=90^\circ).$$ De ello se deduce que tanto $A'E$ y $C'F$ son diámetros de $(ABC)$ Así que $A'E\cap C'F=O$ . Ahora los seis puntos $C',A,E,A',C,F$ en círculo $(ABC)$ satisfacer $$CC'\cap AA'=H,C'F\cap EA'=O,AF\cap EC=D.$$ Así que por el teorema de Pascal, $H,O,D$ son colineales. Dado que $HO$ coincide con la línea de Euler $GO$ lo mismo ocurre con $G,O,D$ . QED