2 votos

Problema variacional de Sturm-Liouville

No tengo ni idea de este problema. No tengo formación formal en métodos variacionales.

Demuestre que para la función $\phi\left ( x \right )$ con

$$\phi\left ( a \right )=\phi\left ( b \right )=0$$

y con la restricción adicional

$$I = \int_{a}^{b}r\left ( x \right )\left ( \phi'\left ( x \right ) \right )^{2} dx=1 $$

que el funcional

$$J\left ( \phi\left ( x \right ) \right )=\int_{a}^{b}\left [ p\left ( x \right )\left ( \phi'\left ( x \right ) \right )^{2}-q\left ( x \right )\left ( \phi^{2}\left ( x \right ) \right ) \right ]dx$$

se hace estacionaria mediante la solución $y\left ( x, \lambda \right )$ del sistema Sturm-Liouville

$$\left ( p\left ( x \right )y'\left ( x \right ) \right )'+\left ( q\left ( x \right ) +\lambda r\left ( x \right )y\left ( x \right ) \right )=0$$

en $a< x< b$ con $y\left ( a \right )=y\left ( b \right )=0$ .

y que el valor mínimo de J viene dado por $\lambda_{1}$ el menor valor propio del sistema de Sturm-Liouville

Esto apareció en un examen del año pasado, así que espero que algo así aparezca en el examen.

Se agradece la ayuda

0voto

Sam Sirry Puntos 101

Me temo que su examen hace tiempo que pasó, pero quizá a alguien más le interese. Su funcional $I$ debería haber $\phi$ pas $\phi'$ en él. El funcional está parado en $y$ (más o menos por definición) si existe un multiplicador de Lagrange $\lambda$ tal que la derivada de $$ F(s)=J(y+s\theta)-\lambda I(y+s\theta) $$ en $s=0$ desaparece para todas las funciones suaves $\theta$ desapareciendo en $a$ y $b$ . Desde $F$ es un polinomio cuadrático (para cada $\theta$ ) es fácil de diferenciar, y se obtiene la condición $$ \int_a^b(py'\theta'-(q+\lambda r)y\theta)=0. $$ Ahora integra por partes para mover la derivada en $\theta$ al otro factor y ¡listo!

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X