Problema variacional de Sturm-Liouville

Question

No tengo ni idea de este problema. No tengo formación formal en métodos variacionales.

Demuestre que para la función $\phi\left ( x \right )$ con

$$\phi\left ( a \right )=\phi\left ( b \right )=0$$

y con la restricción adicional

$$I = \int_{a}^{b}r\left ( x \right )\left ( \phi'\left ( x \right ) \right )^{2} dx=1$$

que el funcional

$$J\left ( \phi\left ( x \right ) \right )=\int_{a}^{b}\left [ p\left ( x \right )\left ( \phi'\left ( x \right ) \right )^{2}-q\left ( x \right )\left ( \phi^{2}\left ( x \right ) \right ) \right ]dx$$

se hace estacionaria mediante la solución $y\left ( x, \lambda \right )$ del sistema Sturm-Liouville

$$\left ( p\left ( x \right )y'\left ( x \right ) \right )'+\left ( q\left ( x \right ) +\lambda r\left ( x \right )y\left ( x \right ) \right )=0$$

en $a< x< b$ con $y\left ( a \right )=y\left ( b \right )=0$ .

y que el valor mínimo de J viene dado por $\lambda_{1}$ el menor valor propio del sistema de Sturm-Liouville

Esto apareció en un examen del año pasado, así que espero que algo así aparezca en el examen.

Se agradece la ayuda

Answer 1

Me temo que su examen hace tiempo que pasó, pero quizá a alguien más le interese. Su funcional $I$ debería haber $\phi$ pas $\phi'$ en él. El funcional está parado en $y$ (más o menos por definición) si existe un multiplicador de Lagrange $\lambda$ tal que la derivada de $$F(s)=J(y+s\theta)-\lambda I(y+s\theta)$$ en $s=0$ desaparece para todas las funciones suaves $\theta$ desapareciendo en $a$ y $b$ . Desde $F$ es un polinomio cuadrático (para cada $\theta$ ) es fácil de diferenciar, y se obtiene la condición $$\int_a^b(py'\theta'-(q+\lambda r)y\theta)=0.$$ Ahora integra por partes para mover la derivada en $\theta$ al otro factor y ¡listo!