No tengo ni idea de este problema. No tengo formación formal en métodos variacionales.
Demuestre que para la función $\phi\left ( x \right )$ con
$$\phi\left ( a \right )=\phi\left ( b \right )=0$$
y con la restricción adicional
$$I = \int_{a}^{b}r\left ( x \right )\left ( \phi'\left ( x \right ) \right )^{2} dx=1 $$
que el funcional
$$J\left ( \phi\left ( x \right ) \right )=\int_{a}^{b}\left [ p\left ( x \right )\left ( \phi'\left ( x \right ) \right )^{2}-q\left ( x \right )\left ( \phi^{2}\left ( x \right ) \right ) \right ]dx$$
se hace estacionaria mediante la solución $y\left ( x, \lambda \right )$ del sistema Sturm-Liouville
$$\left ( p\left ( x \right )y'\left ( x \right ) \right )'+\left ( q\left ( x \right ) +\lambda r\left ( x \right )y\left ( x \right ) \right )=0$$
en $a< x< b$ con $y\left ( a \right )=y\left ( b \right )=0$ .
y que el valor mínimo de J viene dado por $\lambda_{1}$ el menor valor propio del sistema de Sturm-Liouville
Esto apareció en un examen del año pasado, así que espero que algo así aparezca en el examen.
Se agradece la ayuda