Intersección de dos "enorme", establece en el plano

Question

Consideremos dos conjuntos en el plano de la $A=\mathbb{Q}\times \mathbb{R}$$B=\mathbb{R}\times \mathbb{Q}$. Sabemos que $A\cap B=\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\neq\emptyset$. Lo que sobre el general de los casos?

Es decir, se $A\cap B\neq\emptyset$ si $A,B\subset\mathbb{R}^2$ que se cumpla que

1. cada vertical de fibra de $A_y$ $A$ es denso en $\mathbb{R}\times y$,
   
2. horizontales de cada fibra $B_x$ $B$ es denso en $x\times\mathbb{R}$?

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Lo que si reemplazamos la asunción por

una. cada vertical de fibra de $A_y$ $A$ es de positiva del volumen,
b. horizontales de cada fibra $B_x$ $B$ es de positiva del volumen?

El único caso que conozco es si el positivo de volumen suposición es reemplazado por completo vulmue (teorema de Fubini).

Gracias!

Answer 1

Para tu segunda pregunta, la respuesta es fácil "no". Deje $A = \{(x,y)\ |\ x < y\}$ y deje $B$ ser su complemento. Cada $A_x,\ A^y,\ B_x,\ B^y$ tiene longitud infinita, sino $A \cap B = \emptyset$.

Answer 2

Corregido a la luz de Andrés y de Jacob comentarios: definamos $\mathbb{Q}_{odd}$ como el subconjunto de $\mathbb{Q}$ que ha denominador impar cuando se expresa en términos mínimos y $\mathbb{Q}_{even}$ del mismo modo, incluso con denominador. Si dejas $A=[\mathbb{Q}_{odd}\times (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}_{odd})] \cup [\mathbb{Q}_{even}\times (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}_{even})]$ $B=[(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}_{even})\times \mathbb{Q}_{odd}] \cup [\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}_{odd})\times \mathbb{Q}_{even}]$ no tienen intersección.

Agregado: Para la segunda parte, si no tenemos todavía necesita densa, se puede utilizar un tablero de ajedrez: $A=[2m,2m+1)\times[2n,2n+1)\cup[2m+1,2m+2)\times[2n+1,2n+2), m,n \in \mathbb{Z}$

$B=[2m,2m+1)\times[2n+1,2n+2)\cup[2m+1,2m+2)\times[2n,2n+1), m,n \in \mathbb{Z}$

Añade aún otra vez para la segunda parte: me Deja trabajar en $(0,1)\times(0,1)$ como podemos biject a $\mathbb{R}^2$. Siguientes Andrés comentario, ¿qué $C=[\mathbb{Q}\cap(0,\frac{1}{2})\cup[\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \cap (\frac{1}{2},1)], D=(0,1)\setminus C$,$A=(C\times C) \cup (D \times D), B=(C\times D) \cup (D \times C)$. Ambos son densos y de medida positiva.

Answer 3

Una manera sencilla de construir conjuntos con las propiedades necesarias es la primera pick $U,V\subseteq\mathbb{R}$ y el conjunto de $$\begin{align} &A = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2\colon x+y\in U\right\},\\ &B = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2\colon x+y\in V\right\}. \end{align}$$ Luego la vertical de las fibras de $A_y$ son todos traduce de $U$ y el horizontal de las fibras de $B_x$ se traduce de $V$ (y, análogamente, para la horizontal de las fibras de $A$ y vertical de las fibras de $B$). La elección de $U,V$ disjuntos, entonces $A,B$ son también distintos. Usted puede tomar $U=\mathbb{Q}$ $V=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ para el primer ejemplo y $U=(0,1)$, $V=(1,2)$ para la segunda. O, si lo prefiere, tome $U=\left((0,1)\setminus\mathbb{Q}\right)\cup\left(\mathbb{Q}\setminus(0,1)\right)$ $V=\mathbb{R}\setminus U$ dar simultánea de un contraejemplo para ambos.

Si desea incursionar en que no se pueden medir conjuntos, que requiere el axioma de elección, y luego tomar las $U$ a ser cualquier subconjunto de a $\mathbb{R}$ con plena exterior de medida cero y el interior de la medida (por ejemplo, un conjunto de Vitali) y $V=\mathbb{R}\setminus U$ $A$ $B$ (como un subconjunto de a$\mathbb{R}^2$), junto con sus horizontal y vertical de las fibras (como subconjuntos de a $\mathbb{R}$) tendrán todo el exterior de la medida, pero tienen cero interior de la medida. De hecho, de nuevo, usando el axioma de elección, su posible encontrar una cantidad no numerable de pares de conjuntos disjuntos cuya horizontal y vertical de las fibras tienen total exterior de la medida.